Решите неравенство: (x²- 5x)(x²-11x + 30) < 0.

Решение:

Сначала разложим каждый множитель на множители:

• \[ x^2 - 5x = x(x - 5) \]
• \[ x^2 - 11x + 30 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 11x + 30 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(1)(30) = 121 - 120 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

\[ x(x - 5)(x - 5)(x - 6) < 0 \]

\[ x(x - 5)^2(x - 6) < 0 \]

Рассмотрим знаки множителей на интервалах, полученных из корней \(x = 0\), \(x = 5\) и \(x = 6\).

• Интервал \((-\infty, 0)\): Возьмем \(x = -1\). \((-1)(-1 - 5)^2(-1 - 6) = (-1)(36)(-7) > 0\).
• Интервал \((0, 5)\): Возьмем \(x = 1\). \((1)(1 - 5)^2(1 - 6) = (1)(16)(-5) < 0\).
• Интервал \((5, 6)\): Возьмем \(x = 5.5\). \((5.5)(5.5 - 5)^2(5.5 - 6) = (5.5)(0.25)(-0.5) < 0\).
• Интервал \((6, \infty)\): Возьмем \(x = 7\). \((7)(7 - 5)^2(7 - 6) = (7)(4)(1) > 0\).

Обратите внимание, что множитель \((x - 5)^2\) всегда неотрицателен. Он равен нулю при \(x = 5\), что не удовлетворяет строгому неравенству \(< 0\). Таким образом, \(x
eq 5\).

Условие \(x(x - 5)^2(x - 6) < 0\) выполняется, когда \(x\) и \((x - 6)\) имеют разные знаки, и \(x
eq 5\).

Это происходит на интервалах \((0, 5)\) и \((5, 6)\).

Объединяя эти интервалы, получаем:

\[ x \in (0, 5) \cup (5, 6) \]

Ответ: