Решите неравенство: (x - 6) / (x + 1) < 0

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство \( \frac{x - 6}{x + 1} < 0 \), нужно найти корни числителя и знаменателя и нанести их на числовую ось.

1. Приравняем числитель к нулю: \( x - 6 = 0 \) \( \Rightarrow x = 6 \).
2. Приравняем знаменатель к нулю: \( x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow x = -1 \).
3. Отметим точки \( -1 \) и \( 6 \) на числовой оси. Точка \( -1 \) будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точка \( 6 \) будет закрашенной, так как неравенство строгое (меньше нуля), но если бы было \( \le \) , то \( 6 \) была бы закрашенной.
4. Определим знаки интервалов, подставляя тестовые значения:
   • Для \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( \frac{-2 - 6}{-2 + 1} = \frac{-8}{-1} = 8 > 0 \)
   • Для \( -1 < x < 6 \), например \( x = 0 \): \( \frac{0 - 6}{0 + 1} = \frac{-6}{1} = -6 < 0 \)
   • Для \( x > 6 \), например \( x = 7 \): \( \frac{7 - 6}{7 + 1} = \frac{1}{8} > 0 \)
5. Нам нужен интервал, где значение выражения меньше нуля. Это интервал \( (-1; 6) \).

Ответ: \( x \in (-1; 6) \).