Решите неравенство: x \(\le\) \(\frac{64}{x}\).

Решение:

Данное неравенство можно преобразовать к виду:

\[ x - \frac{64}{x} \le 0 \]\[ \frac{x^2 - 64}{x} \le 0 \]

Приравняем числитель и знаменатель к нулю, чтобы найти критические точки:

• Числитель: \( x^2 - 64 = 0 \implies x^2 = 64 \implies x = \pm 8 \)
• Знаменатель: \( x = 0 \)

Отметим эти точки на числовой прямой: -8, 0, 8. Они разбивают прямую на четыре интервала:

1. \( (-\infty, -8] \): Возьмём \( x = -10 \). \( \frac{(-10)^2 - 64}{-10} = \frac{100 - 64}{-10} = \frac{36}{-10} = -3.6 \). Неравенство \( -3.6 \le 0 \) выполняется.
2. \( [-8, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( \frac{(-1)^2 - 64}{-1} = \frac{1 - 64}{-1} = \frac{-63}{-1} = 63 \). Неравенство \( 63 \le 0 \) не выполняется.
3. \( (0, 8] \): Возьмём \( x = 1 \). \( \frac{1^2 - 64}{1} = \frac{1 - 64}{1} = -63 \). Неравенство \( -63 \le 0 \) выполняется.
4. \( [8, \infty) \): Возьмём \( x = 10 \). \( \frac{10^2 - 64}{10} = \frac{100 - 64}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \). Неравенство \( 3.6 \le 0 \) не выполняется.

Обратите внимание, что \( x = 8 \) включается в решение, так как неравенство нестрогое, а \( x = 0 \) не включается, поскольку на ноль делить нельзя.

Таким образом, решениями неравенства являются интервалы \( (-\infty, -8] \) и \( (0, 8] \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -8] \cup (0, 8] \).