14. Решите неравенство (7x+2)/(x²-x-42) ≥ 0.

Решим неравенство \(\frac{7x+2}{x^2-x-42} \ge 0\). 1) Разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 42 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4(1)(-42) = 1 + 168 = 169\). Корни: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{1+13}{2} = 7\) и \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{1-13}{2} = -6\). Тогда \(x^2 - x - 42 = (x-7)(x+6)\). Неравенство принимает вид: \(\frac{7x+2}{(x-7)(x+6)} \ge 0\). 2) Найдем нули числителя: \(7x+2 = 0\) => \(x = -\frac{2}{7}\). Нули знаменателя: \(x = 7\) и \(x = -6\). 3) Отметим найденные точки на числовой прямой: -6, -2/7 и 7. Расставим знаки на получившихся интервалах. (-∞, -6): возьмем x = -7. Тогда \(\frac{7(-7)+2}{(-7-7)(-7+6)} = \frac{-47}{(-14)(-1)} = \frac{-47}{14} < 0\). (-6, -2/7): возьмем x = -1. Тогда \(\frac{7(-1)+2}{(-1-7)(-1+6)} = \frac{-5}{(-8)(5)} = \frac{-5}{-40} = \frac{1}{8} > 0\). (-2/7, 7): возьмем x = 0. Тогда \(\frac{7(0)+2}{(0-7)(0+6)} = \frac{2}{(-7)(6)} = \frac{2}{-42} < 0\). (7, +∞): возьмем x = 8. Тогда \(\frac{7(8)+2}{(8-7)(8+6)} = \frac{58}{(1)(14)} = \frac{58}{14} > 0\). 4) Выберем интервалы, где функция больше или равна нулю: (-6, -2/7] и (7, +∞). Ответ: \(x \in (-6; -\frac{2}{7}] \cup (7; +\infty)\)