97. Решите неравенство: a) \(\frac{x-8}{x+4} > 2\); B) \(\frac{7x-1}{x} > 5\); 6) \(\frac{3-x}{x-2} < 1\); г) \(\frac{6-2x}{x+4} > 3\).

Привет! Давай решим эти неравенства вместе. Будем разбирать каждое по порядку.

а) \(\frac{x-8}{x+4} > 2\)

1. Перенесем 2 в левую часть неравенства:
\[\frac{x-8}{x+4} - 2 > 0\]
2. Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{x-8 - 2(x+4)}{x+4} > 0\] \[\frac{x-8 - 2x - 8}{x+4} > 0\] \[\frac{-x - 16}{x+4} > 0\] \[\frac{x + 16}{x+4} < 0\]
3. Найдем нули числителя и знаменателя:
\(x + 16 = 0 \Rightarrow x = -16\) \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
4. Определим знаки на интервалах:
Интервалы: \((-\infty; -16)\), \((-16; -4)\), \((-4; +\infty)\) Проверим знаки на каждом интервале:
• \(x = -20\): \(\frac{-20 + 16}{-20 + 4} = \frac{-4}{-16} > 0\)
• \(x = -10\): \(\frac{-10 + 16}{-10 + 4} = \frac{6}{-6} < 0\)
• \(x = 0\): \(\frac{0 + 16}{0 + 4} = \frac{16}{4} > 0\)
5. Выберем интервал, где выражение меньше нуля:
\(x \in (-16; -4)\)

Ответ: \(x \in (-16; -4)\)

б) \(\frac{3-x}{x-2} < 1\)

1. Перенесем 1 в левую часть неравенства:
\[\frac{3-x}{x-2} - 1 < 0\]
2. Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{3-x - (x-2)}{x-2} < 0\] \[\frac{3-x - x + 2}{x-2} < 0\] \[\frac{5 - 2x}{x-2} < 0\] \[\frac{2x - 5}{x-2} > 0\]
3. Найдем нули числителя и знаменателя:
\(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5\) \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
4. Определим знаки на интервалах:
Интервалы: \((-\infty; 2)\), \((2; 2.5)\), \((2.5; +\infty)\) Проверим знаки на каждом интервале:
• \(x = 0\): \(\frac{2(0) - 5}{0-2} = \frac{-5}{-2} > 0\)
• \(x = 2.25\): \(\frac{2(2.25) - 5}{2.25-2} = \frac{4.5-5}{0.25} < 0\)
• \(x = 3\): \(\frac{2(3) - 5}{3-2} = \frac{6-5}{1} > 0\)
5. Выберем интервалы, где выражение больше нуля:
\(x \in (-\infty; 2) \cup (2.5; +\infty)\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 2) \cup (2.5; +\infty)\)

в) \(\frac{7x-1}{x} > 5\)

1. Перенесем 5 в левую часть неравенства:
\[\frac{7x-1}{x} - 5 > 0\]
2. Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{7x-1 - 5x}{x} > 0\] \[\frac{2x - 1}{x} > 0\]
3. Найдем нули числителя и знаменателя:
\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} = 0.5\) \(x = 0\)
4. Определим знаки на интервалах:
Интервалы: \((-\infty; 0)\), \((0; 0.5)\), \((0.5; +\infty)\) Проверим знаки на каждом интервале:
• \(x = -1\): \(\frac{2(-1) - 1}{-1} = \frac{-3}{-1} > 0\)
• \(x = 0.25\): \(\frac{2(0.25) - 1}{0.25} = \frac{0.5-1}{0.25} < 0\)
• \(x = 1\): \(\frac{2(1) - 1}{1} = \frac{1}{1} > 0\)
5. Выберем интервалы, где выражение больше нуля:
\(x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty)\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty)\)

г) \(\frac{6-2x}{x+4} > 3\)

1. Перенесем 3 в левую часть неравенства:
\[\frac{6-2x}{x+4} - 3 > 0\]
2. Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{6-2x - 3(x+4)}{x+4} > 0\] \[\frac{6-2x - 3x - 12}{x+4} > 0\] \[\frac{-5x - 6}{x+4} > 0\] \[\frac{5x + 6}{x+4} < 0\]
3. Найдем нули числителя и знаменателя:
\(5x + 6 = 0 \Rightarrow x = -\frac{6}{5} = -1.2\) \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
4. Определим знаки на интервалах:
Интервалы: \((-\infty; -4)\), \((-4; -1.2)\), \((-1.2; +\infty)\) Проверим знаки на каждом интервале:
• \(x = -5\): \(\frac{5(-5) + 6}{-5+4} = \frac{-25+6}{-1} > 0\)
• \(x = -2\): \(\frac{5(-2) + 6}{-2+4} = \frac{-10+6}{2} < 0\)
• \(x = 0\): \(\frac{5(0) + 6}{0+4} = \frac{6}{4} > 0\)
5. Выберем интервал, где выражение меньше нуля:
\(x \in (-4; -1.2)\)

Ответ: \(x \in (-4; -1.2)\)

Ты молодец! У тебя всё получится!