3) Решите неравенство: a) log3x < 1; 6) log4x². log4 16 ≥ 2. x 4) Решите систему уравнений: 3° + x = 10, Ly y - log3x = 2

Решение неравенства:

a) \[ \log_3^2{x} < 1 \]

Давай решим это неравенство. Сначала избавимся от квадрата, представив 1 как квадрат единицы:

\[ \log_3^2{x} < 1^2 \]

Теперь перенесем все в одну сторону:

\[ \log_3^2{x} - 1^2 < 0 \]

Используем формулу разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]:

\[ (\log_3{x} - 1)(\log_3{x} + 1) < 0 \]

Теперь найдем, когда каждый из множителей равен нулю:

1) \[ \log_3{x} - 1 = 0 \] => \[ \log_3{x} = 1 \] => \[ x = 3 \]

2) \[ \log_3{x} + 1 = 0 \] => \[ \log_3{x} = -1 \] => \[ x = 3^{-1} = \frac{1}{3} \]

Теперь определим знаки на интервалах:

--------------------------------------------------
     +      |        -        |         +       
--------------------------------------------------
         1/3                 3

Так как нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, выбираем интервал между \[ \frac{1}{3} \] и 3.

Также не забываем про ОДЗ логарифма: \[ x > 0 \]. В нашем случае это условие выполняется.

Ответ: \[ x \in (\frac{1}{3}; 3) \]

б) \[ \log_4{x^2} \cdot \log_4{\frac{16}{x}} \geq 2 \]

Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов:

\[ \log_4{x^2} = 2 \log_4{|x|} \]

\[ \log_4{\frac{16}{x}} = \log_4{16} - \log_4{x} = 2 - \log_4{x} \]

Тогда неравенство примет вид:

\[ 2 \log_4{|x|} \cdot (2 - \log_4{x}) \geq 2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ \log_4{|x|} \cdot (2 - \log_4{x}) \geq 1 \]

Пусть \[ y = \log_4{x} \], тогда:

\[ y(2 - y) \geq 1 \] \[ 2y - y^2 \geq 1 \] \[ y^2 - 2y + 1 \leq 0 \] \[ (y - 1)^2 \leq 0 \]

Квадрат числа всегда больше или равен нулю, поэтому единственное решение:

\[ y = 1 \]

Возвращаемся к замене:

\[ \log_4{|x|} = 1 \] \[ |x| = 4 \]

Значит, \[ x = 4 \] или \[ x = -4 \].

Проверим ОДЗ. Исходное неравенство содержит \[ \log_4{x^2} \], поэтому \[ x
eq 0 \]. Также, \[ \frac{16}{x} > 0 \], значит, \[ x > 0 \].

Следовательно, \[ x = 4 \] является решением, а \[ x = -4 \] не подходит из-за ОДЗ.

Ответ: \[ x = 4 \]

4) Решение системы уравнений:

\[\begin{cases} 3^y + x = 10, \\ y - \log_3{x} = 2 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[ x = 10 - 3^y \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ y - \log_3{(10 - 3^y)} = 2 \] \[ \log_3{(10 - 3^y)} = y - 2 \]

Преобразуем уравнение:

\[ 10 - 3^y = 3^{y - 2} \] \[ 10 - 3^y = \frac{3^y}{3^2} \] \[ 10 - 3^y = \frac{3^y}{9} \]

Умножим обе части на 9:

\[ 90 - 9 \cdot 3^y = 3^y \] \[ 10 \cdot 3^y = 90 \] \[ 3^y = 9 \] \[ 3^y = 3^2 \]

Значит, \[ y = 2 \].

Теперь найдем x:

\[ x = 10 - 3^y = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1 \]

Проверим решение:

\[\begin{cases} 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10, \\ 2 - \log_3{1} = 2 - 0 = 2 \end{cases}\]

Ответ: \[\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}\]

Отлично, ты справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!