264. Решите неравенство: a) x² + 2x – 48 < 0; б) 2x² – 7x + 6 > 0; в) -x² + 2x + 15 > 0; г) -5х² + 11x - 6 > 0; д) 4х2 - 12х + 9 > 0; e) 25x² + 30x + 9 < 0; ж) -10х2 + 9x > 0; з) -2x² + 7x < 0.

Решим каждое неравенство по шагам:

1. a) $$x^2 + 2x - 48 < 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 2x - 48 = 0$$

   По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -2$$, $$x_1 \cdot x_2 = -48$$. Корни: $$x_1 = -8$$, $$x_2 = 6$$.

   Решением неравенства являются значения $$x$$ между корнями, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   $$x \in (-8; 6)$$

2. б) $$2x^2 - 7x + 6 > 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x + 6 = 0$$

   Дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$.

   Корни: $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$$, $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

   Решением неравенства являются значения $$x$$ вне интервала между корнями, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$

3. в) $$-x^2 + 2x + 15 > 0$$

   Умножим на -1: $$x^2 - 2x - 15 < 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 2x - 15 = 0$$

   По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 2$$, $$x_1 \cdot x_2 = -15$$. Корни: $$x_1 = -3$$, $$x_2 = 5$$.

   Решением неравенства являются значения $$x$$ между корнями, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   $$x \in (-3; 5)$$

4. г) $$-5x^2 + 11x - 6 > 0$$

   Умножим на -1: $$5x^2 - 11x + 6 < 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2 - 11x + 6 = 0$$

   Дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 - 120 = 1$$.

   Корни: $$x_1 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$$, $$x_2 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1.2$$

   Решением неравенства являются значения $$x$$ между корнями, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   $$x \in (1; 1.2)$$

5. д) $$4x^2 - 12x + 9 > 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$4x^2 - 12x + 9 = 0$$

   Дискриминант: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$$.

   Корень: $$x = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1.5$$

   Так как дискриминант равен 0, то квадратный трехчлен имеет один корень, и неравенство выполняется для всех $$x$$, кроме $$x = 1.5$$.

   $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$$

6. e) $$25x^2 + 30x + 9 < 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$25x^2 + 30x + 9 = 0$$

   Дискриминант: $$D = (30)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 900 - 900 = 0$$.

   Корень: $$x = \frac{-30}{2 \cdot 25} = \frac{-30}{50} = -0.6$$

   Так как дискриминант равен 0, то квадратный трехчлен имеет один корень, и неравенство не имеет решений, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   Решений нет.

7. ж) $$-10x^2 + 9x > 0$$

   Умножим на -1: $$10x^2 - 9x < 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$10x^2 - 9x = 0$$

   $$x(10x - 9) = 0$$

   Корни: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{9}{10} = 0.9$$

   Решением неравенства являются значения $$x$$ между корнями, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   $$x \in (0; 0.9)$$

8. з) $$-2x^2 + 7x < 0$$

   Умножим на -1: $$2x^2 - 7x > 0$$

   Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x = 0$$

   $$x(2x - 7) = 0$$

   Корни: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = \frac{7}{2} = 3.5$$

   Решением неравенства являются значения $$x$$ вне интервала между корнями, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.

   $$x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; +\infty)$$

Ответ: a) $$x \in (-8; 6)$$, б) $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$, в) $$x \in (-3; 5)$$, г) $$x \in (1; 1.2)$$, д) $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$$, e) решений нет, ж) $$x \in (0; 0.9)$$, з) $$x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; +\infty)$$