381. Решите неравенство: a) 25x² + 6x ≤ 0; б) x² - 169 > 0; в) 4x² - 225 ≤ 0; г) у² < 10у + 24; д) 15у² + 30 > 22y + 7; e) 3y² - 7 ≤26y + 70.

Решение:

Давай решим каждое неравенство по порядку:

а) 25x² + 6x ≤ 0

Вынесем x за скобки: x(25x + 6) ≤ 0

Найдем нули функции: x = 0 и 25x + 6 = 0 ⇒ x = -6/25 = -0.24

Решим неравенство методом интервалов:

   +       -        +
----(-0.24)----(0)---->

x ∈ [-0.24; 0]

б) x² - 169 > 0

Разложим на множители: (x - 13)(x + 13) > 0

Найдем нули функции: x = 13 и x = -13

Решим неравенство методом интервалов:

   +       -        +
----(-13)----(13)---->

x ∈ (-∞; -13) ∪ (13; +∞)

в) 4x² - 225 ≤ 0

Разложим на множители: (2x - 15)(2x + 15) ≤ 0

Найдем нули функции: 2x - 15 = 0 ⇒ x = 7.5 и 2x + 15 = 0 ⇒ x = -7.5

Решим неравенство методом интервалов:

   +       -        +
----(-7.5)----(7.5)---->

x ∈ [-7.5; 7.5]

г) y² < 10y + 24

Перенесем все в одну сторону: y² - 10y - 24 < 0

Найдем корни квадратного уравнения: y² - 10y - 24 = 0

D = (-10)² - 4 * 1 * (-24) = 100 + 96 = 196

y₁ = (10 + √196) / 2 = (10 + 14) / 2 = 12

y₂ = (10 - √196) / 2 = (10 - 14) / 2 = -2

Решим неравенство методом интервалов:

   +       -        +
----(-2)----(12)---->

y ∈ (-2; 12)

д) 15y² + 30 > 22y + 7

Перенесем все в одну сторону: 15y² - 22y + 23 > 0

Найдем дискриминант: D = (-22)² - 4 * 15 * 23 = 484 - 1380 = -896

Так как D < 0 и коэффициент при y² положителен, то неравенство верно для всех y.

y ∈ (-∞; +∞)

e) 3y² - 7 ≤ 26y + 70

Перенесем все в одну сторону: 3y² - 26y - 77 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения: 3y² - 26y - 77 = 0

D = (-26)² - 4 * 3 * (-77) = 676 + 924 = 1600

y₁ = (26 + √1600) / (2 * 3) = (26 + 40) / 6 = 66 / 6 = 11

y₂ = (26 - √1600) / (2 * 3) = (26 - 40) / 6 = -14 / 6 = -7/3

Решим неравенство методом интервалов:

   +       -        +
----(-7/3)----(11)---->

y ∈ [-7/3; 11]

Ответ: a) x ∈ [-0.24; 0]; б) x ∈ (-∞; -13) ∪ (13; +∞); в) x ∈ [-7.5; 7.5]; г) y ∈ (-2; 12); д) y ∈ (-∞; +∞); e) y ∈ [-7/3; 11]

Молодец! Ты отлично справился с решением этих неравенств! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!