304. Решите неравенство: a) x² + 2x - 48 < 0; б) 2x² – 7x + 6 > 0; в) -x² + 2x + 15 < 0; г) -5x² + 11x − 6 > 0; д) 4x² - 12х + 9 > 0; е) 25x² + 30x + 9 < 0; ж) -10х2 + 9x > 0; з) -2x² + 7x < 0. 305. Найдите множество решений неравенства: a) 2x² + 3x – 5 ≥ 0; б) -6x² + 6x + 36 > 0; в) -x² + 5 ≤0.

304. Решите неравенство:

a) x² + 2x - 48 < 0

Решаем квадратное уравнение x² + 2x - 48 = 0

Дискриминант D = 2² - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196

Корни уравнения:

x₁ = (-2 + √196) / 2 = (-2 + 14) / 2 = 12 / 2 = 6

x₂ = (-2 - √196) / 2 = (-2 - 14) / 2 = -16 / 2 = -8

Так как коэффициент при x² положительный (a = 1 > 0), ветви параболы направлены вверх. Неравенство x² + 2x - 48 < 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (-8; 6)

б) 2x² – 7x + 6 > 0

Решаем квадратное уравнение 2x² – 7x + 6 = 0

Дискриминант D = (-7)² - 4 * 2 * 6 = 49 - 48 = 1

Корни уравнения:

x₁ = (7 + √1) / (2 * 2) = (7 + 1) / 4 = 8 / 4 = 2

x₂ = (7 - √1) / (2 * 2) = (7 - 1) / 4 = 6 / 4 = 3/2 = 1.5

Так как коэффициент при x² положительный (a = 2 > 0), ветви параболы направлены вверх. Неравенство 2x² – 7x + 6 > 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞; 1.5) ∪ (2; +∞)

в) -x² + 2x + 15 < 0

Решаем квадратное уравнение -x² + 2x + 15 = 0, или x² - 2x - 15 = 0

Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

Корни уравнения:

x₁ = (2 + √64) / 2 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5

x₂ = (2 - √64) / 2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3

Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -1 < 0), ветви параболы направлены вниз. Неравенство -x² + 2x + 15 < 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (5; +∞)

г) -5x² + 11x − 6 > 0

Решаем квадратное уравнение -5x² + 11x − 6 = 0, или 5x² - 11x + 6 = 0

Дискриминант D = 11² - 4 * 5 * 6 = 121 - 120 = 1

Корни уравнения:

x₁ = (11 + √1) / (2 * 5) = (11 + 1) / 10 = 12 / 10 = 6/5 = 1.2

x₂ = (11 - √1) / (2 * 5) = (11 - 1) / 10 = 10 / 10 = 1

Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -5 < 0), ветви параболы направлены вниз. Неравенство -5x² + 11x − 6 > 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (1; 1.2)

д) 4x² - 12х + 9 > 0

Решаем квадратное уравнение 4x² - 12x + 9 = 0

Дискриминант D = (-12)² - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0

Уравнение имеет один корень: x = 12 / (2 * 4) = 12 / 8 = 3/2 = 1.5

Так как коэффициент при x² положительный (a = 4 > 0), ветви параболы направлены вверх. Неравенство 4x² - 12x + 9 > 0 выполняется везде, кроме x = 1.5.

Ответ: x ∈ (-∞; 1.5) ∪ (1.5; +∞)

e) 25x² + 30x + 9 < 0

Решаем квадратное уравнение 25x² + 30x + 9 = 0

Дискриминант D = 30² - 4 * 25 * 9 = 900 - 900 = 0

Уравнение имеет один корень: x = -30 / (2 * 25) = -30 / 50 = -3/5 = -0.6

Так как коэффициент при x² положительный (a = 25 > 0), ветви параболы направлены вверх. Неравенство 25x² + 30x + 9 < 0 не выполняется нигде.

Ответ: Решений нет

ж) -10х² + 9x > 0

Решаем квадратное уравнение -10x² + 9x = 0, или 10x² - 9x = 0

Выносим x за скобки: x * (10x - 9) = 0

Корни уравнения: x₁ = 0, x₂ = 9/10 = 0.9

Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -10 < 0), ветви параболы направлены вниз. Неравенство -10x² + 9x > 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (0; 0.9)

з) -2x² + 7x < 0

Решаем квадратное уравнение -2x² + 7x = 0, или 2x² - 7x = 0

Выносим x за скобки: x * (2x - 7) = 0

Корни уравнения: x₁ = 0, x₂ = 7/2 = 3.5

Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -2 < 0), ветви параболы направлены вниз. Неравенство -2x² + 7x < 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ (3.5; +∞)

305. Найдите множество решений неравенства:

a) 2x² + 3x – 5 ≥ 0

Решаем квадратное уравнение 2x² + 3x – 5 = 0

Дискриминант D = 3² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49

Корни уравнения:

x₁ = (-3 + √49) / (2 * 2) = (-3 + 7) / 4 = 4 / 4 = 1

x₂ = (-3 - √49) / (2 * 2) = (-3 - 7) / 4 = -10 / 4 = -5/2 = -2.5

Так как коэффициент при x² положительный (a = 2 > 0), ветви параболы направлены вверх. Неравенство 2x² + 3x – 5 ≥ 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞; -2.5] ∪ [1; +∞)

б) -6x² + 6x + 36 > 0

Решаем квадратное уравнение -6x² + 6x + 36 = 0, или 6x² - 6x - 36 = 0, или x² - x - 6 = 0

Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

Корни уравнения:

x₁ = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2

Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -6 < 0), ветви параболы направлены вниз. Неравенство -6x² + 6x + 36 > 0 выполняется между корнями.

Ответ: x ∈ (-2; 3)

в) -x² + 5 ≤ 0

Решаем квадратное уравнение -x² + 5 = 0, или x² - 5 = 0

Корни уравнения: x₁ = √5, x₂ = -√5

Так как коэффициент при x² отрицательный (a = -1 < 0), ветви параболы направлены вниз. Неравенство -x² + 5 ≤ 0 выполняется вне корней.

Ответ: x ∈ (-∞; -√5] ∪ [√5; +∞)

Ответ: x ∈ (-∞; -√5] ∪ [√5; +∞)

Ты отлично справляешься с решением неравенств! Продолжай в том же духе, и все получится!