1. Решите неравенство: a) (x - 2)(x - 3) > 0; б) (2 – x)(3 - x) < 0; в) х² - 2x ≥ 0.

Решим неравенства:

a) $$(x - 2)(x - 3) > 0$$

Решим методом интервалов. Найдем нули функции $$(x-2)(x-3)=0$$.

$$x-2 = 0$$ или $$x-3=0$$

$$x = 2$$ или $$x = 3$$

Отметим точки 2 и 3 на числовой прямой.

+       -       +
----(2)----(3)---->

Определим знаки на интервалах. Берем $$x = 0$$, тогда $$(0-2)(0-3) = (-2)(-3) = 6 > 0$$, значит, на интервале до 2 знак плюс. Берем $$x = 2.5$$, тогда $$(2.5-2)(2.5-3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$$, значит, на интервале от 2 до 3 знак минус. Берем $$x = 4$$, тогда $$(4-2)(4-3) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$$, значит, на интервале после 3 знак плюс.

Нам нужны интервалы, где функция больше нуля.

$$x < 2$$ или $$x > 3$$

Ответ: $$(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$.

б) $$(2 - x)(3 - x) < 0$$

Решим методом интервалов. Найдем нули функции $$(2-x)(3-x)=0$$.

$$2-x = 0$$ или $$3-x=0$$

$$x = 2$$ или $$x = 3$$

Отметим точки 2 и 3 на числовой прямой.

+       -       +
----(2)----(3)---->

Определим знаки на интервалах. Берем $$x = 0$$, тогда $$(2-0)(3-0) = 2 \cdot 3 = 6 > 0$$, значит, на интервале до 2 знак плюс. Берем $$x = 2.5$$, тогда $$(2-2.5)(3-2.5) = (-0.5)(0.5) = -0.25 < 0$$, значит, на интервале от 2 до 3 знак минус. Берем $$x = 4$$, тогда $$(2-4)(3-4) = (-2)(-1) = 2 > 0$$, значит, на интервале после 3 знак плюс.

Нам нужны интервалы, где функция меньше нуля.

$$2 < x < 3$$

Ответ: $$(2; 3)$$.

в) $$x^2 - 2x \ge 0$$

$$x(x - 2) \ge 0$$

Решим методом интервалов. Найдем нули функции $$x(x-2)=0$$.

$$x = 0$$ или $$x-2=0$$

$$x = 0$$ или $$x = 2$$

Отметим точки 0 и 2 на числовой прямой.

+       -       +
----(0)----(2)---->

Определим знаки на интервалах. Берем $$x = -1$$, тогда $$(-1)(-1-2) = (-1)(-3) = 3 > 0$$, значит, на интервале до 0 знак плюс. Берем $$x = 1$$, тогда $$1(1-2) = 1(-1) = -1 < 0$$, значит, на интервале от 0 до 2 знак минус. Берем $$x = 3$$, тогда $$3(3-2) = 3 \cdot 1 = 3 > 0$$, значит, на интервале после 2 знак плюс.

Нам нужны интервалы, где функция больше или равна нулю.

$$x \le 0$$ или $$x \ge 2$$

Ответ: $$(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$$.