Решение неравенства

a) (x - 2)(x - 5)(x – 12) > 0

Найдем корни уравнения (x - 2)(x - 5)(x – 12) = 0

Корни: x = 2, x = 5, x = 12

Метод интервалов: рисуем числовую прямую и отмечаем корни, расставляем знаки на интервалах.

Интервалы: (-∞; 2), (2; 5), (5; 12), (12; +∞)

• x < 2, например, x = 0: (-2)(-5)(-12) = -120 < 0
• 2 < x < 5, например, x = 3: (1)(-2)(-9) = 18 > 0
• 5 < x < 12, например, x = 6: (4)(1)(-6) = -24 < 0
• x > 12, например, x = 13: (11)(8)(1) = 88 > 0

Выбираем интервалы, где (x - 2)(x - 5)(x – 12) > 0.

Ответ: x ∈ (2; 5) ∪ (12; +∞)

б) (x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0

Найдем корни уравнения (x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0

Корни: x = -7, x = -1, x = 4

Метод интервалов: рисуем числовую прямую и отмечаем корни, расставляем знаки на интервалах.

Интервалы: (-∞; -7), (-7; -1), (-1; 4), (4; +∞)

• x < -7, например, x = -8: (-1)(-7)(-12) = -84 < 0
• -7 < x < -1, например, x = -2: (5)(-1)(-6) = 30 > 0
• -1 < x < 4, например, x = 0: (7)(1)(-4) = -28 < 0
• x > 4, например, x = 5: (12)(6)(1) = 72 > 0

Выбираем интервалы, где (x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0.

Ответ: x ∈ (-∞; -7) ∪ (-1; 4)

в) x(x + 1)(x + 5)(x – 8) > 0

Найдем корни уравнения x(x + 1)(x + 5)(x – 8) = 0

Корни: x = -5, x = -1, x = 0, x = 8

Метод интервалов: рисуем числовую прямую и отмечаем корни, расставляем знаки на интервалах.

Интервалы: (-∞; -5), (-5; -1), (-1; 0), (0; 8), (8; +∞)

• x < -5, например, x = -6: (-6)(-5)(-1)(-14) = 420 > 0
• -5 < x < -1, например, x = -2: (-2)(-1)(3)(-10) = -60 < 0
• -1 < x < 0, например, x = -0.5: (-0.5)(0.5)(4.5)(-8.5) = 9.5625 > 0
• 0 < x < 8, например, x = 1: (1)(2)(6)(-7) = -84 < 0
• x > 8, например, x = 9: (9)(10)(14)(1) = 1260 > 0

Выбираем интервалы, где x(x + 1)(x + 5)(x – 8) > 0.

Ответ: x ∈ (-∞; -5) ∪ (-1; 0) ∪ (8; +∞)