298. Решите неравенство: a) 5x +4 <4, x б) 6x+1 > 1 x+1 B) x >2 x-1 г) 3x-1>1 x+2

a) Решим неравенство $$\frac{5x+4}{x} < 4$$.

Перенесем 4 в левую часть:

$$\frac{5x+4}{x} - 4 < 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{5x+4-4x}{x} < 0$$

$$\frac{x+4}{x} < 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x+4=0 \Rightarrow x=-4$$

$$x=0$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +             -             +
--------------------|--------------------|--------------------
                   -4                   0

Решением неравенства является интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $$x \in (-4; 0)$$.

б) Решим неравенство $$\frac{6x+1}{x+1} > 1$$.

Перенесем 1 в левую часть:

$$\frac{6x+1}{x+1} - 1 > 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{6x+1 - (x+1)}{x+1} > 0$$

$$\frac{5x}{x+1} > 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$5x = 0 \Rightarrow x=0$$

$$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

       +             -             +
-------|-------------|-------------
      -1             0

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $$x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$$.

в) Решим неравенство $$\frac{x}{x-1} > 2$$.

Перенесем 2 в левую часть:

$$\frac{x}{x-1} - 2 > 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{x - 2(x-1)}{x-1} > 0$$

$$\frac{x - 2x + 2}{x-1} > 0$$

$$\frac{-x+2}{x-1} > 0$$

$$\frac{-(x-2)}{x-1} > 0$$

$$\frac{x-2}{x-1} < 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x-2 = 0 \Rightarrow x=2$$

$$x-1=0 \Rightarrow x=1$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

      +             -             +
------|-------------|-------------
      1             2

Решением неравенства является интервал, где выражение отрицательно.

Ответ: $$x \in (1; 2)$$.

г) Решим неравенство $$\frac{3x-1}{x+2} > 1$$.

Перенесем 1 в левую часть:

$$\frac{3x-1}{x+2} - 1 > 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{3x-1 - (x+2)}{x+2} > 0$$

$$\frac{2x-3}{x+2} > 0$$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$2x-3 = 0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$$

$$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

        +             -             +
--------|-------------|-------------
       -2            3/2

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно.

Ответ: $$x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$$.