Решите неравенство f'(x)>0 если f(x) = (x-3)•(x+2)²

Привет! Давай решим это неравенство вместе.

\( f(x) = (x-3)(x+2)^2 \)

Сначала найдем производную функции f(x). Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\)

Пусть \( u = x-3 \) и \( v = (x+2)^2 \). Тогда:

\( u' = 1 \)

\( v' = 2(x+2) \)

Теперь найдем производную \( f'(x) \):

\( f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot (x+2)^2 + (x-3) \cdot 2(x+2) \)

Вынесем общий множитель \( (x+2) \):

\( f'(x) = (x+2)[(x+2) + 2(x-3)] \)

Упростим выражение в скобках:

\( f'(x) = (x+2)(x+2 + 2x - 6) = (x+2)(3x - 4) \)

Теперь нам нужно решить неравенство \( f'(x) > 0 \):

\( (x+2)(3x - 4) > 0 \)

Найдем нули производной:

\( x+2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

\( 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной на каждом интервале:

Интервалы:

1. \( x < -2 \)

2. \( -2 < x < \frac{4}{3} \)

3. \( x > \frac{4}{3} \)

Проверим знаки на каждом интервале:

1. Пусть \( x = -3 \). Тогда \( f'(-3) = (-3+2)(3(-3)-4) = (-1)(-9-4) = (-1)(-13) = 13 > 0 \)

2. Пусть \( x = 0 \). Тогда \( f'(0) = (0+2)(3(0)-4) = (2)(-4) = -8 < 0 \)

3. Пусть \( x = 2 \). Тогда \( f'(2) = (2+2)(3(2)-4) = (4)(6-4) = (4)(2) = 8 > 0 \)

Таким образом, \( f'(x) > 0 \) на интервалах \( x < -2 \) и \( x > \frac{4}{3} \).

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!