Решите неравенство: )log₁/6 (10-x)+log₁/6 (x-3) ≥-1; )*log²3 x -2log3 x ≤ 3.

Разберем по порядку: 1) \(\log_{\frac{1}{6}} (10-x) + \log_{\frac{1}{6}} (x-3) \geq -1\) Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\) \(\log_{\frac{1}{6}} ((10-x)(x-3)) \geq -1\) Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства изменится: \((10-x)(x-3) \leq (\frac{1}{6})^{-1}\) \((10-x)(x-3) \leq 6\) \(10x - 30 - x^2 + 3x \leq 6\) \(-x^2 + 13x - 30 \leq 6\) \(-x^2 + 13x - 36 \leq 0\) \(x^2 - 13x + 36 \geq 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 13x + 36 = 0\): \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\) \(x_1 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) Решением неравенства является \(x \leq 4\) или \(x \geq 9\). Теперь учтем область определения логарифмов: \(10 - x > 0 \Rightarrow x < 10\) \(x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\) Таким образом, решение неравенства \(3 < x \leq 4\) или \(9 \leq x < 10\). 2) \((\log_3 x)^2 - 2\log_3 x \leq 3\) Пусть \(y = \log_3 x\), тогда: \(y^2 - 2y \leq 3\) \(y^2 - 2y - 3 \leq 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(y^2 - 2y - 3 = 0\): \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\) \(y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\) \(y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\) Решением неравенства является \(-1 \leq y \leq 3\). Вернемся к \(x\): \(-1 \leq \log_3 x \leq 3\) \(3^{-1} \leq x \leq 3^3\) \(\frac{1}{3} \leq x \leq 27\)

Ответ: 1) (3, 4] ∪ [9, 10); 2) [1/3, 27]