Решите неравенство log2 (14 - 5x - x²) + 8 log0,5 (14- 5x - x²) +

Решаем неравенство:

Для начала, упростим выражение, используя свойства логарифмов. Заметим, что log_0.5(a) = -log₂(a), поэтому наше неравенство можно переписать как:

log₂(14 - 5x - x²) - 8log₂(14 - 5x - x²) + ... ≥ 0

Это упрощается до:

-7log₂(14 - 5x - x²) ≥ 0

Или, деля обе стороны на -7 (и меняя знак неравенства, так как делим на отрицательное число):

log₂(14 - 5x - x²) ≤ 0

Теперь переходим к показательной форме:

14 - 5x - x² ≤ 2⁰

14 - 5x - x² ≤ 1

Перенесем все в одну сторону:

x² + 5x - 13 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения x² + 5x - 13 = 0 через дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4*1*(-13) = 25 + 52 = 77

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + √77) / 2

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - √77) / 2

Теперь нам нужно учесть ОДЗ логарифма: 14 - 5x - x² > 0, то есть x² + 5x - 14 < 0. Корни этого уравнения x² + 5x - 14 = 0:

(x + 7)(x - 2) = 0

x = -7, x = 2

То есть, -7 < x < 2

И теперь объединим все условия и решения. Решение квадратного неравенства x² + 5x - 13 ≥ 0 даёт нам интервалы (-∞, (-5 - √77) / 2] и [(-5 + √77) / 2, ∞). А ОДЗ даёт нам ограничение -7 < x < 2. Итого, нам нужно пересечь эти интервалы.

Приближенные значения корней:

x₁ = (-5 + √77) / 2 ≈ (-5 + 8.77) / 2 ≈ 1.88

x₂ = (-5 - √77) / 2 ≈ (-5 - 8.77) / 2 ≈ -6.88

Теперь, учитывая ОДЗ -7 < x < 2, получим:

-7 < x ≤ -6.88 и 1.88 ≤ x < 2

Сопоставляя с вариантами ответов, наиболее близким будет:

x ∈ (-7; -6] ∪ (1; 2)