Решите неравенство log25 4x² + 5x-26/ x+2 ≤ 1/2.

Решение неравенства:

1. Область определения:

   Определим область определения (ОО):

   • \( x + 2 > 0 \) → \( x > -2 \)
   • \( \frac{4x^2 + 5x - 26}{x + 2} > 0 \)

2. Преобразование неравенства:

   Приведем неравенство к более простому виду:

   \[\log_{25} \frac{4x^2 + 5x - 26}{x + 2} \le \frac{1}{2}\]

   \[\frac{4x^2 + 5x - 26}{x + 2} \le 25^{\frac{1}{2}}\]

   \[\frac{4x^2 + 5x - 26}{x + 2} \le 5\]

   \[\frac{4x^2 + 5x - 26}{x + 2} - 5 \le 0\]

   \[\frac{4x^2 + 5x - 26 - 5(x + 2)}{x + 2} \le 0\]

   \[\frac{4x^2 + 5x - 26 - 5x - 10}{x + 2} \le 0\]

   \[\frac{4x^2 - 36}{x + 2} \le 0\]

   \[\frac{4(x^2 - 9)}{x + 2} \le 0\]

   \[\frac{4(x - 3)(x + 3)}{x + 2} \le 0\]

3. Решение методом интервалов:

   Найдем корни числителя и знаменателя:

   • \( x = 3 \), \( x = -3 \), \( x = -2 \)

   Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале, учитывая, что \( x > -2 \):

   Интервалы: \( (-3, -2) \), \( (-2, 3) \)

   Для \( x \in (-3, -2) \): \( \frac{4(x - 3)(x + 3)}{x + 2} > 0 \)

   Для \( x \in (-2, 3) \): \( \frac{4(x - 3)(x + 3)}{x + 2} < 0 \)

   Учитывая знак неравенства (≤), включаем корни числителя в решение:

Ответ: \( x \in (-3.75; -3] \cup (2; 3] \)