Решите неравенство 9log7 (x2+x-2)≤10+log- (1-1)9 1+2

Давай решим это логарифмическое неравенство вместе!

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент первого логарифма должен быть положительным:

   \[x^2 + x - 2 > 0\]

   Решим это квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 2 = 0\):

   \[D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

   Таким образом, \(x^2 + x - 2 > 0\) при \(x < -2\) или \(x > 1\).

2. Аргумент второго логарифма также должен быть положительным:

   \[\frac{(x-1)^9}{x+2} > 0\]

   Так как степень нечетная, знак дроби совпадает со знаком выражения \(\frac{x-1}{x+2}\). Решим это неравенство методом интервалов.

   Нули числителя: \(x = 1\)
   Нули знаменателя: \(x = -2\)

   Получаем интервалы: \((-\infty; -2), (-2; 1), (1; +\infty)\)

   • При \(x < -2\), например, \(x = -3\): \(\frac{-3-1}{-3+2} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0\)

   • При \(-2 < x < 1\), например, \(x = 0\): \(\frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} < 0\)

   • При \(x > 1\), например, \(x = 2\): \(\frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4} > 0\)

   Таким образом, \(\frac{(x-1)^9}{x+2} > 0\) при \(x < -2\) или \(x > 1\).

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \(x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\)

Теперь решим само неравенство:

\[9\log_7(x^2 + x - 2) \leq 10 + \log_7\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right)\]

Представим 10 как логарифм по основанию 7:

\[10 = \log_7(7^{10})\]

Тогда неравенство можно переписать так:

\[\log_7((x^2 + x - 2)^9) \leq \log_7(7^{10}) + \log_7\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right)\]

Сгруппируем логарифмы справа:

\[\log_7((x^2 + x - 2)^9) \leq \log_7\left(7^{10} \cdot \frac{(x-1)^9}{x+2}\right)\]

Уберем логарифмы, учитывая, что основание логарифма больше 1:

\[(x^2 + x - 2)^9 \leq 7^{10} \cdot \frac{(x-1)^9}{x+2}\]

Заметим, что \(x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)\), тогда:

\[((x-1)(x+2))^9 \leq 7^{10} \cdot \frac{(x-1)^9}{x+2}\] \[(x-1)^9(x+2)^9 \leq 7^{10} \cdot \frac{(x-1)^9}{x+2}\]

Разделим обе части на \((x-1)^9\). Важно помнить, что \(x
eq 1\), так как 1 не входит в ОДЗ.

\[(x+2)^9 \leq \frac{7^{10}}{x+2}\] \[(x+2)^{10} \leq 7^{10}\]

Извлечем корень десятой степени (учитываем, что степень четная):

\[|x+2| \leq 7\]

Раскрываем модуль:

\[-7 \leq x+2 \leq 7\]

Вычитаем 2 из всех частей:

\[-9 \leq x \leq 5\]

Учитывая ОДЗ \(x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)\), получаем решение:

\[x \in [-9; -2) \cup (1; 5]\]

Ответ: \(x \in [-9; -2) \cup (1; 5]\)

Молодец! Ты отлично справился с этим сложным заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!