Решите неравенство log4(64x) log4 x - log4 x3 ≥-1.

Решим неравенство

$$\frac{\log_4(64x)}{\log_4^2 x - \log_4 x^3} \ge -1.$$

ОДЗ: $$x > 0$$, $$x
e 1$$

Преобразуем неравенство:

$$\frac{\log_4(64x)}{\log_4^2 x - 3\log_4 x} + 1 \ge 0$$ $$\frac{\log_4(64x) + \log_4^2 x - 3\log_4 x}{\log_4^2 x - 3\log_4 x} \ge 0$$

Учитывая, что $$\log_4(64x) = \log_4 64 + \log_4 x = 3 + \log_4 x$$, получаем:

$$\frac{3 + \log_4 x + \log_4^2 x - 3\log_4 x}{\log_4^2 x - 3\log_4 x} \ge 0$$ $$\frac{\log_4^2 x - 2\log_4 x + 3}{\log_4 x(\log_4 x - 3)} \ge 0$$

Рассмотрим числитель: $$\log_4^2 x - 2\log_4 x + 3$$. Дискриминант $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$$. Так как старший коэффициент положительный, то числитель всегда положителен.

Тогда неравенство сводится к:

$$\frac{1}{\log_4 x(\log_4 x - 3)} \ge 0$$ $$\log_4 x(\log_4 x - 3) > 0$$

Решаем методом интервалов. Нули: $$\log_4 x = 0$$ и $$\log_4 x = 3$$, откуда $$x = 1$$ и $$x = 4^3 = 64$$.

Так как $$x > 0$$ и $$x
e 1$$, то решениями являются $$x \in (0; 1) \cup (64; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (0; 1) \cup (64; +\infty)$$