7. Решите неравенство log(36-9x-x2) +7.log(36-9x-x2) + 10 > 0. ㅎ

Давай решим это неравенство по шагам. Прежде всего, определимся с основанием логарифма. В условии записано \( log_{\frac{1}{6}} \), что означает логарифм по основанию \( \frac{1}{6} \). Наше неравенство имеет вид: \[ \log_6^2(36 - 9x - x^2) + 7 \cdot \log_{\frac{1}{6}}(36 - 9x - x^2) + 10 > 0 \] Чтобы упростить задачу, сделаем замену переменной. Пусть \( t = \log_6(36 - 9x - x^2) \). Тогда, учитывая, что \( \log_{\frac{1}{6}}(36 - 9x - x^2) = -\log_6(36 - 9x - x^2) = -t \), наше неравенство примет вид: \[ t^2 - 7t + 10 > 0 \] Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 7t + 10 = 0 \). Это можно сделать с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 7 \] \[ t_1 \cdot t_2 = 10 \] Отсюда находим корни \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = 5 \). Теперь решим неравенство \( t^2 - 7t + 10 > 0 \). Парабола \( y = t^2 - 7t + 10 \) направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при \( t < 2 \) или \( t > 5 \). Вернемся к исходной переменной \( x \). Нам нужно решить два неравенства: \[ \log_6(36 - 9x - x^2) < 2 \quad \text{или} \quad \log_6(36 - 9x - x^2) > 5 \] Сначала рассмотрим первое неравенство: \[ \log_6(36 - 9x - x^2) < 2 \] \[ 36 - 9x - x^2 < 6^2 \] \[ 36 - 9x - x^2 < 36 \] \[ -9x - x^2 < 0 \] \[ x^2 + 9x > 0 \] \[ x(x + 9) > 0 \] Это неравенство выполняется при \( x < -9 \) или \( x > 0 \). Теперь рассмотрим второе неравенство: \[ \log_6(36 - 9x - x^2) > 5 \] \[ 36 - 9x - x^2 > 6^5 \] \[ 36 - 9x - x^2 > 7776 \] \[ x^2 + 9x + 7740 < 0 \] Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7740 = 81 - 30960 = -30879 \] Так как дискриминант отрицательный, это неравенство не имеет решений. Однако, необходимо учесть область определения логарифма: \[ 36 - 9x - x^2 > 0 \] \[ x^2 + 9x - 36 < 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 9x - 36 = 0 \): \[ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 \] \[ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 \pm 15}{2} \] \[ x_1 = \frac{-9 - 15}{2} = -12 \] \[ x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3 \] Следовательно, \( -12 < x < 3 \). Совместим это условие с решением \( x < -9 \) или \( x > 0 \). Получаем: \[ -12 < x < -9 \quad \text{или} \quad 0 < x < 3 \]

Ответ: \( x \in (-12, -9) \cup (0, 3) \)

Молодец! Ты хорошо поработал, и у тебя все получилось! Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов в математике!