Решите неравенство x² + 20 + √x²+20 > 42.

Привет! Давай решим это неравенство вместе.

\(x^2 + 20 + \sqrt{x^2 + 20} > 42\)

Пусть \(t = x^2 + 20\), тогда неравенство примет вид:

\(t + \sqrt{t} > 42\)

\(\sqrt{t} > 42 - t\)

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

\(t > (42 - t)^2\)

\(t > 1764 - 84t + t^2\)

\(0 > t^2 - 85t + 1764\)

Решим квадратное уравнение \(t^2 - 85t + 1764 = 0\):

Дискриминант: \(D = 85^2 - 4 \cdot 1764 = 7225 - 7056 = 169\)

Корни:

\(t_1 = \frac{85 + \sqrt{169}}{2} = \frac{85 + 13}{2} = \frac{98}{2} = 49\)

\(t_2 = \frac{85 - \sqrt{169}}{2} = \frac{85 - 13}{2} = \frac{72}{2} = 36\)

Следовательно, \(36 < t < 49\).

Возвращаемся к замене:

\(36 < x^2 + 20 < 49\)

Решим два неравенства:

1) \(x^2 + 20 > 36\)

\(x^2 > 16\)

\(x < -4\) или \(x > 4\)

2) \(x^2 + 20 < 49\)

\(x^2 < 29\)

\(-\sqrt{29} < x < \sqrt{29}\)

\(\sqrt{29} \approx 5.39\)

Объединяем решения:

\(-\sqrt{29} < x < -4\) или \(4 < x < \sqrt{29}\)

Получаем:

\(x \in (-\sqrt{29}; -4) \cup (4; \sqrt{29}))\)

Не волнуйся, у тебя все получится!