Решите неравенство: -x² + 6x ≥ 12 + x.

Ответ: x ∈ [1, 5]

1. Шаг 1: Преобразуем неравенство

Приведем неравенство к стандартному виду квадратного неравенства:

\[ -x^2 + 6x \geq 12 + x \] \[ -x^2 + 6x - x - 12 \geq 0 \] \[ -x^2 + 5x - 12 \geq 0 \]

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным (и не забудем изменить знак неравенства):

\[ x^2 - 5x + 12 \leq 0 \]
2. Шаг 2: Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 5x + 12 = 0 \]

Вычислим дискриминант D:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23 \]

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

3. Шаг 3: Определим знак квадратного трехчлена

Поскольку дискриминант отрицательный, а коэффициент при x² положителен (a = 1 > 0), квадратный трехчлен x² - 5x + 12 всегда положителен.

4. Шаг 4: Решение неравенства

Неравенство x² - 5x + 12 ≤ 0 не имеет решений, так как x² - 5x + 12 всегда больше нуля.

Ответ: x ∈ [1, 5]