14. Решите неравенство -48 x²+14х+24 ≥0.

Решение:

Решим неравенство \(\frac{-48}{x^2+14x+24} \ge 0\).

Сначала найдем нули знаменателя, решив квадратное уравнение \(x^2 + 14x + 24 = 0\).

Найдем дискриминант: \(D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\).

Найдем корни: \(x_1 = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-14 + 10}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-14 - 10}{2} = -12\).

Знаменатель обращается в нуль при \(x = -2\) и \(x = -12\).

Теперь рассмотрим знак дроби. Числитель всегда отрицательный (-48). Следовательно, вся дробь будет больше или равна нулю, когда знаменатель будет отрицательным.

Рассмотрим интервалы:

• \(x < -12\): \(x^2 + 14x + 24 > 0\) (например, при \(x = -13\) получим \((-13)^2 + 14 \cdot (-13) + 24 = 169 - 182 + 24 = 11 > 0\)).
• \(-12 < x < -2\): \(x^2 + 14x + 24 < 0\) (например, при \(x = -3\) получим \((-3)^2 + 14 \cdot (-3) + 24 = 9 - 42 + 24 = -9 < 0\)).
• \(x > -2\): \(x^2 + 14x + 24 > 0\) (например, при \(x = 0\) получим \(0^2 + 14 \cdot 0 + 24 = 24 > 0\)).

Так как нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, то выбираем интервал, где знаменатель отрицательный, то есть \(-12 < x < -2\).

Ответ: (-12; -2)