Решим неравенство методом интервалов.
- Найдем корни знаменателя:
$$x^2 - 7x - 30 = 0$$
$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$$
$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$$
$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
Знаменатель обращается в нуль при $$x = 10$$ и при $$x = -3$$.
- Числитель равен 0, когда 30 = 0. Числитель не обращается в нуль.
- Отметим точки -3 и 10 на числовой прямой, они разбивают прямую на три интервала: $$(-\infty; -3)$$, $$(-3; 10)$$, $$(10; +\infty)$$.
- Определим знак выражения на каждом интервале:
- На интервале $$(-\infty; -3)$$ возьмем $$x = -4$$:
$$\frac{30}{(-4)^2 - 7 \cdot (-4) - 30} = \frac{30}{16 + 28 - 30} = \frac{30}{14} > 0$$
- На интервале $$(-3; 10)$$ возьмем $$x = 0$$:
$$\frac{30}{0^2 - 7 \cdot 0 - 30} = \frac{30}{-30} = -1 < 0$$
- На интервале $$(10; +\infty)$$ возьмем $$x = 11$$:
$$\frac{30}{11^2 - 7 \cdot 11 - 30} = \frac{30}{121 - 77 - 30} = \frac{30}{14} > 0$$
Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно 0, поэтому выбираем интервал $$(-3; 10)$$. Так как точки, где знаменатель равен нулю, не входят в решение, то ответ будет $$(-3; 10)$$.
Ответ: $$(-3; 10)$$.