15. Решите неравенство 16x +16 √x+24-5 ≤ 17.4* √x+24-5 .

Решение:

• Определим ОДЗ:
• \( \sqrt{x+24} - 5
  eq 0 \)
• \( \sqrt{x+24}
  eq 5 \)
• \( x+24
  eq 25 \)
• \( x
  eq 1 \)
• \( x+24 \geq 0 \)
• \( x \geq -24 \)
• ОДЗ: \( x \in [-24; 1) \cup (1; + \infty) \)
• Перепишем неравенство:
• \( \frac{16^x + 16}{\sqrt{x+24} - 5} \leq \frac{17.4}{\sqrt{x+24} - 5} \)
• \( \frac{16^x + 16 - 17.4}{\sqrt{x+24} - 5} \leq 0 \)
• \( \frac{16^x - 1.4}{\sqrt{x+24} - 5} \leq 0 \)
• Рассмотрим функцию \( f(x) = 16^x - 1.4 \):
• \( 16^x - 1.4 = 0 \)
• \( 16^x = 1.4 \)
• \( x = \log_{16} 1.4 \)
• Приблизительно \( x \approx 0.146 \)
• Рассмотрим функцию \( g(x) = \sqrt{x+24} - 5 \):
• \( \sqrt{x+24} - 5 = 0 \)
• \( \sqrt{x+24} = 5 \)
• \( x+24 = 25 \)
• \( x = 1 \)
• Определим знаки на интервалах:

•         -24       0.146       1         +∞
         ----|--------|---------|--------->
             +        -          +           
       

• Решением неравенства является интервал, где функция отрицательна:
• \( x \in [\log_{16} 1.4; 1) \)
• Учитывая ОДЗ и полученный интервал, находим пересечение:
• \( x \in [\log_{16} 1.4; 1) \cup (1; + \infty) \)
• Так как \( x
  eq 1 \), то решением будет точка \( x = 1 \)