15. Решите неравенство 27x3 + 9x2 - 3x - 1 22 2 16x²-4.4x²+4 ≥ 0.

Для решения неравенства необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $$27x^3 + 9x^2 - 3x - 1$$

Сгруппируем слагаемые: $$(27x^3 + 9x^2) - (3x + 1) = 9x^2(3x + 1) - 1(3x + 1) = (9x^2 - 1)(3x + 1) = (3x - 1)(3x + 1)(3x + 1) = (3x - 1)(3x + 1)^2$$

Знаменатель: $$16x^2 - 4 \cdot 4x^2 + 4 = 16x^2 - 16x^2 + 4 = 4$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$\frac{(3x-1)(3x+1)^2}{4} \ge 0$$

Так как знаменатель всегда положителен, достаточно рассмотреть числитель:

$$(3x-1)(3x+1)^2 \ge 0$$

Выражение $$(3x+1)^2$$ всегда неотрицательно, поэтому неравенство выполняется, когда $$(3x-1) \ge 0$$ или $$(3x+1)^2 = 0$$

1) $$3x - 1 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{3}$$

2) $$(3x + 1)^2 = 0 \Rightarrow 3x + 1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$$

Объединяем решения:

$$x = -\frac{1}{3}$$ или $$x \ge \frac{1}{3}$$

Ответ: $$x = -\frac{1}{3} \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$$