15 Решите неравенство 49x-2.7x+1 + 49 49x+0,5-64.7x + 9 ≥ 0.

Привет! Давай решим это неравенство. Оно выглядит сложно, но мы справимся!

Для начала перепишем неравенство, используя свойства степеней. Заметим, что 49 = 7², поэтому 49^x = (7²)^x = 7^2x. Также, 7^x+1 = 7 * 7^x и 49^x+0,5 = 49^x * 49^0,5 = 49^x * 7 = 7 * 7^2x.

Тогда неравенство можно переписать как:

\[\frac{7^{2x} - 2 \cdot 7 \cdot 7^x + 49}{7 \cdot 7^{2x} - 64 \cdot 7^x + 9} \ge 0\]

\[\frac{7^{2x} - 14 \cdot 7^x + 49}{7 \cdot 7^{2x} - 64 \cdot 7^x + 9} \ge 0\]

Пусть t = 7^x, тогда неравенство примет вид:

\[\frac{t^2 - 14t + 49}{7t^2 - 64t + 9} \ge 0\]

Заметим, что числитель можно свернуть в полный квадрат:

\[\frac{(t - 7)^2}{7t^2 - 64t + 9} \ge 0\]

Теперь разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение 7t² - 64t + 9 = 0:

Дискриминант D = (-64)² - 4 * 7 * 9 = 4096 - 252 = 3844 = 62².

Корни:

\[t_1 = \frac{64 + 62}{2 \cdot 7} = \frac{126}{14} = 9\]

\[t_2 = \frac{64 - 62}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\]

Значит, знаменатель можно записать как 7(t - 9)(t - 1/7), и неравенство примет вид:

\[\frac{(t - 7)^2}{7(t - 9)(t - \frac{1}{7})} \ge 0\]

\[\frac{(t - 7)^2}{(t - 9)(t - \frac{1}{7})} \ge 0\]

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим точки 1/7, 7 и 9 на числовой прямой.

Так как (t - 7)² ≥ 0 всегда (кроме t = 7), то на знак дроби влияет только знаменатель.

1) t < 1/7: (t - 9) < 0, (t - 1/7) < 0, значит, знаменатель положителен, и дробь положительна.

2) 1/7 < t < 7: (t - 9) < 0, (t - 1/7) > 0, значит, знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна.

3) t = 7: числитель равен 0, дробь равна 0.

4) 7 < t < 9: (t - 9) < 0, (t - 1/7) > 0, значит, знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна.

5) t > 9: (t - 9) > 0, (t - 1/7) > 0, значит, знаменатель положителен, и дробь положительна.

Таким образом, неравенство выполняется при t < 1/7, t = 7 и t > 9.

Вернемся к переменной x:

1) t < 1/7: 7^x < 1/7 = 7^-1, значит, x < -1.

2) t = 7: 7^x = 7¹, значит, x = 1.

3) t > 9: 7^x > 9, значит, x > log₇9.

Итак, решением неравенства является x < -1, x = 1, x > log₇9.

Перепишем ответ в виде интервалов:

x ∈ (-∞; -1) ∪ {1} ∪ (log₇9; +∞)

Молодец! Ты отлично справился с этим непростым заданием. Продолжай в том же духе! У тебя все получится!