Решите перавенство 9log7 (2²+1-2) ≤10+log7 (1-1)9 1+2

Решение неравенства

Давай решим неравенство по шагам.

1. Область определения (ОДЗ)

Сначала найдем область определения логарифмов. У нас есть два условия:

1. \( x^2 + x - 2 > 0 \)
2. \( \frac{(x-1)^9}{x+2} > 0 \)

Решим первое неравенство:

\[ x^2 + x - 2 > 0 \]

\[ (x+2)(x-1) > 0 \]

Корни: \( x = -2 \) и \( x = 1 \). Интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 1) \), \( (1, +\infty) \).

Проверяем знаки на интервалах: \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( (-3+2)(-3-1) = (-1)(-4) = 4 > 0 \). \( -2 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0+2)(0-1) = 2(-1) = -2 < 0 \). \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( (2+2)(2-1) = 4(1) = 4 > 0 \).

Итак, решение первого неравенства: \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \).

Теперь решим второе неравенство:

\[ \frac{(x-1)^9}{x+2} > 0 \]

Здесь нужно учитывать, что \( (x-1)^9 \) имеет тот же знак, что и \( x-1 \), так как степень нечетная. Значит, можно переписать неравенство как:

\[ \frac{x-1}{x+2} > 0 \]

Корни: \( x = 1 \) и \( x = -2 \). Интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 1) \), \( (1, +\infty) \).

Проверяем знаки на интервалах: \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( \frac{-3-1}{-3+2} = \frac{-4}{-1} = 4 > 0 \). \( -2 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} < 0 \). \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( \frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4} > 0 \).

Итак, решение второго неравенства: \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \).

Окончательно, ОДЗ: \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \).

2. Решение неравенства

Исходное неравенство:

\[ 9\log_7(x^2+x-2) \le 10 + \log_7\left(\frac{(x-1)^9}{x+2}\right) \]

\[ 9\log_7(x^2+x-2) \le 10 + \log_7((x-1)^9) - \log_7(x+2) \]

\[ 9\log_7((x+2)(x-1)) \le 10 + 9\log_7(x-1) - \log_7(x+2) \]

\[ 9\log_7(x+2) + 9\log_7(x-1) \le 10 + 9\log_7(x-1) - \log_7(x+2) \]

\[ 10\log_7(x+2) \le 10 \]

\[ \log_7(x+2) \le 1 \]

\[ x+2 \le 7 \]

\[ x \le 5 \]

3. Учет ОДЗ

Учитывая ОДЗ \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \) и \( x \le 5 \), получаем:

\[ x \in (-\infty, -2) \cup (1, 5] \]

Ответ:

\[ x \in (-\infty, -2) \cup (1, 5] \]