Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите показательные и логарифмические неравенства: 1) log₁/₂(−x)≥4; 2) lg(x−5)−lg2≥½lg(3x−20); 3) lg²x+lg x³+2>0; 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Основание меньше 1, поэтому −x≤(1/2)^4. Ответ: [−1/16;0).
  2. ОДЗ: x>20/3. После преобразования: (x−5)²≥4(3x−20), то есть (x−7)(x−15)≥0. Ответ: (20/3;7]∪[15;+∞).
  3. Пусть t=lg x. Тогда t²+3t+2>0, откуда t<−2 или t>−1. Ответ: (0;0,01)∪(0,1;+∞).
  4. ОДЗ: x>5. Получаем (x+5)(x−5)<100, то есть x²<125. Ответ: (5;5√5).
  5. При 01: 2Ответ: (0;1)∪(√2;+∞).
  6. Учитывая ОДЗ x>0, x<3, x≠2, получаем ответ: (0;(3−√5)/2]∪(2;(3+√5)/2].
  7. Так как 1/9=3⁻², имеем (x−1)/(2x−1)≤−2. Ответ: (1/2;3/5].
  8. Пусть y=3^(x−1)>0. Тогда y²−y−2≥0, поэтому y≥2. Ответ: [1+log₃2;+∞).
  9. Неравенство равносильно 3^(x+2)≤3. Ответ: (−∞;−1].
  10. С учётом ОДЗ x<2 и анализа знаков множителей нули x=−1 и x=1. Ответ: {−1;1}.
  11. ОДЗ: x>0, x≠15. Анализ знаков даёт отрицательные значения на [e²;15), а при x=4 числитель равен нулю. Ответ: {4}∪[e²;15).
  12. ОДЗ: −3≤x≤3 и x<4/3, x≠−1. Логарифм положителен, поэтому дробь отрицательна при x<−1; точка x=−3 не входит из-за строгого неравенства. Ответ: (−3;−1).
  13. Правая часть неравенства на изображении обрезана: записано только «…<». Для решения необходимо знать выражение справа от знака «<».
  14. Числитель 2e^(2x)−5e^x+6 положителен при всех x, поскольку его дискриминант относительно e^x отрицателен. Поэтому знак дроби определяется знаменателем. Ответ: (−∞;1).