613. Решите прямоугольный треугольник: 1) по гипотенузе и острому углу: с = 28 см, а = 48°; 2) по катету и острому углу: а = 56 см, В= 74°; 3) по катету и гипотенузе: а = 5 см, с = 9 см; 4) по двум катетам: а = 3 см, b = 7 см. 614. Решите прямоугольный треугольник: 1) по катету и острому углу: а = 34 см, а = 55°; 2) по гипотенузе и острому углу: с = 16 см, в = 18°; 3) по катету и гипотенузе: b = 12 см, с = 13 см; 4) по двум катетам: а = 4 см, в = 14 см.

Решение прямоугольных треугольников включает нахождение неизвестных сторон и углов, используя известные данные. Задача 613 1) Дано: гипотенуза \( c = 28 \) см, угол \( \alpha = 48^\circ \). Необходимо найти катет \( a \), катет \( b \) и угол \( \beta \). * Используем синус угла: \[ a = c \cdot \sin(\alpha) = 28 \cdot \sin(48^\circ) \approx 28 \cdot 0.743 = 20.804 \text{ см} \] * Используем косинус угла: \[ b = c \cdot \cos(\alpha) = 28 \cdot \cos(48^\circ) \approx 28 \cdot 0.669 = 18.732 \text{ см} \] * Найдем угол \( \beta \): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ \] 2) Дано: катет \( a = 56 \) см, угол \( \beta = 74^\circ \). Необходимо найти гипотенузу \( c \), катет \( b \) и угол \( \alpha \). * Найдем угол \( \alpha \): \[ \alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \] * Используем тангенс угла \( \beta \): \[ b = a \cdot \tan(\beta) = 56 \cdot \tan(74^\circ) \approx 56 \cdot 3.487 = 195.272 \text{ см} \] * Используем косинус угла \( \beta \): \[ c = \frac{a}{\cos(\beta)} = \frac{56}{\cos(74^\circ)} \approx \frac{56}{0.276} = 202.899 \text{ см} \] 3) Дано: катет \( a = 5 \) см, гипотенуза \( c = 9 \) см. Необходимо найти катет \( b \), угол \( \alpha \) и угол \( \beta \). * Используем теорему Пифагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} \approx 7.483 \text{ см} \] * Используем синус угла \( \alpha \): \[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{9} \approx 0.556 \] Значит, \[ \alpha = \arcsin(0.556) \approx 33.75^\circ \] * Найдем угол \( \beta \): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 33.75^\circ = 56.25^\circ \] 4) Дано: катеты \( a = 3 \) см, \( b = 7 \) см. Необходимо найти гипотенузу \( c \), угол \( \alpha \) и угол \( \beta \). * Используем теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.616 \text{ см} \] * Используем тангенс угла \( \alpha \): \[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{3}{7} \approx 0.429 \] Значит, \[ \alpha = \arctan(0.429) \approx 23.199^\circ \] * Найдем угол \( \beta \): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 23.199^\circ = 66.801^\circ \] Задача 614 1) Дано: катет \( a = 34 \) см, угол \( \alpha = 55^\circ \). Необходимо найти катет \( b \), гипотенузу \( c \) и угол \( \beta \). * Найдем угол \( \beta \): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \] * Используем тангенс угла \( \alpha \): \[ b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{34}{\tan(55^\circ)} \approx \frac{34}{1.428} = 23.809 \text{ см} \] * Используем синус угла \( \alpha \): \[ c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{34}{\sin(55^\circ)} \approx \frac{34}{0.819} = 41.514 \text{ см} \] 2) Дано: гипотенуза \( c = 16 \) см, угол \( \beta = 18^\circ \). Необходимо найти катет \( a \), катет \( b \) и угол \( \alpha \). * Найдем угол \( \alpha \): \[ \alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \] * Используем синус угла \( \beta \): \[ b = c \cdot \sin(\beta) = 16 \cdot \sin(18^\circ) \approx 16 \cdot 0.309 = 4.944 \text{ см} \] * Используем косинус угла \( \beta \): \[ a = c \cdot \cos(\beta) = 16 \cdot \cos(18^\circ) \approx 16 \cdot 0.951 = 15.216 \text{ см} \] 3) Дано: катет \( b = 12 \) см, гипотенуза \( c = 13 \) см. Необходимо найти катет \( a \), угол \( \alpha \) и угол \( \beta \). * Используем теорему Пифагора: \[ a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] * Используем тангенс угла \( \alpha \): \[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{5}{12} \approx 0.417 \] Значит, \[ \alpha = \arctan(0.417) \approx 22.62^\circ \] * Найдем угол \( \beta \): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 22.62^\circ = 67.38^\circ \] 4) Дано: катеты \( a = 4 \) см, \( b = 14 \) см. Необходимо найти гипотенузу \( c \), угол \( \alpha \) и угол \( \beta \). * Используем теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \approx 14.56 \text{ см} \] * Используем тангенс угла \( \alpha \): \[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 0.286 \] Значит, \[ \alpha = \arctan(0.286) \approx 15.945^\circ \] * Найдем угол \( \beta \): \[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 15.945^\circ = 74.055^\circ \]

Ответ: Решения приведены выше.