Решите прямоугольный треугольник: 1) по катету и острому углу: а = 34 см, а = 55°; 2) по гипотенузе и острому углу: с = 16 см, в = 18°; 3) по катету и гипотенузе: b = 12 см, с = 13 см; 4) по двум катетам: а = 4 см, b = 14 см.

Привет! Разберем решение прямоугольных треугольников по заданным условиям. Поехали!

1) По катету и острому углу: \(a = 34\) см, \(\alpha = 55^\circ\)

1. Найдем угол \(\beta\): Т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то \[\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\]
2. Найдем катет \(b\): Используем тангенс угла \(\alpha\): \[\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \Rightarrow b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{34}{\tan(55^\circ)} \approx \frac{34}{1.428} \approx 23.81 \text{ см}\]
3. Найдем гипотенузу \(c\): Используем синус угла \(\alpha\): \[\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{34}{\sin(55^\circ)} \approx \frac{34}{0.819} \approx 41.51 \text{ см}\]

Ответ: \(\beta = 35^\circ\), \(b \approx 23.81\) см, \(c \approx 41.51\) см

2) По гипотенузе и острому углу: \(c = 16\) см, \(\beta = 18^\circ\)

1. Найдем угол \(\alpha\): Т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то \[\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\]
2. Найдем катет \(a\): Используем синус угла \(\alpha\): \[\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \sin(\alpha) = 16 \cdot \sin(72^\circ) \approx 16 \cdot 0.951 \approx 15.22 \text{ см}\]
3. Найдем катет \(b\): Используем косинус угла \(\alpha\): \[\cos(\alpha) = \frac{b}{c} \Rightarrow b = c \cdot \cos(\alpha) = 16 \cdot \cos(72^\circ) \approx 16 \cdot 0.309 \approx 4.94 \text{ см}\]

Ответ: \(\alpha = 72^\circ\), \(a \approx 15.22\) см, \(b \approx 4.94\) см

3) По катету и гипотенузе: \(b = 12\) см, \(c = 13\) см

1. Найдем катет \(a\): По теореме Пифагора: \[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]
2. Найдем угол \(\alpha\): Используем синус угла \(\alpha\): \[\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13} \approx 0.385 \Rightarrow \alpha = \arcsin(0.385) \approx 22.62^\circ\]
3. Найдем угол \(\beta\): Т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то \[\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 22.62^\circ \approx 67.38^\circ\]

Ответ: \(a = 5\) см, \(\alpha \approx 22.62^\circ\), \(\beta \approx 67.38^\circ\)

4) По двум катетам: \(a = 4\) см, \(b = 14\) см

1. Найдем гипотенузу \(c\): По теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \approx 14.56 \text{ см}\]
2. Найдем угол \(\alpha\): Используем тангенс угла \(\alpha\): \[\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{4}{14} \approx 0.286 \Rightarrow \alpha = \arctan(0.286) \approx 15.95^\circ\]
3. Найдем угол \(\beta\): Т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то \[\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 15.95^\circ \approx 74.05^\circ\]

Ответ: \(c \approx 14.56\) см, \(\alpha \approx 15.95^\circ\), \(\beta \approx 74.05^\circ\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что в каждом решении выполнены основные теоремы (Пифагора) и свойства углов (сумма острых углов равна 90°). Если что-то не сходится, пересмотри вычисления!

Доп. профит (Уровень Эксперт): Попробуй решить эти же задачи векторным способом. Это позволит лучше понять взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.

Ответ: Все решено!

Теперь ты точно сможешь решить подобные задачи! Молодец!