Решите самостоятельно неравенства: 1) (1/7)^(4x+8) ≥ 49^(3-x); 2) 3^(4x-7) <27^(x+8); 3) 6^(x^2-x-4) ≤36; 4) 2^(x+1) +2^(x+2) > 96; 5) (3/4)^(7x+4) ≤ 9/16.

Решим каждое неравенство по шагам.

<h3>1)</h3>

$$\left(\frac{1}{7}\right)^{4x+8} \ge 49^{3-x}$$

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 7:

$$7^{-(4x+8)} \ge 7^{2(3-x)}$$

$$7^{-4x-8} \ge 7^{6-2x}$$

Так как основание степени больше 1, то можем перейти к неравенству показателей, сохранив знак неравенства:

$$-4x-8 \ge 6-2x$$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа в другую:

$$-4x+2x \ge 6+8$$

$$-2x \ge 14$$

Разделим обе части на -2, не забыв изменить знак неравенства:

$$x \le -7$$

Ответ: $$x \in (-\infty, -7]$$

<h3>2)</h3>

$$3^{4x-7} < 27^{x+8}$$

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 3:

$$3^{4x-7} < 3^{3(x+8)}$$

$$3^{4x-7} < 3^{3x+24}$$

Так как основание степени больше 1, то можем перейти к неравенству показателей, сохранив знак неравенства:

$$4x-7 < 3x+24$$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа в другую:

$$4x-3x < 24+7$$

$$x < 31$$

Ответ: $$x \in (-\infty, 31)$$

<h3>3)</h3>

$$6^{x^2-x-4} \le 36$$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 6:

$$6^{x^2-x-4} \le 6^2$$

Так как основание степени больше 1, то можем перейти к неравенству показателей, сохранив знак неравенства:

$$x^2-x-4 \le 2$$

$$x^2-x-6 \le 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2-x-6 = 0$$

По теореме Виета, $$x_1 = -2, x_2 = 3$$

Решением неравенства будет интервал между корнями:

$$x \in [-2, 3]$$

Ответ: $$x \in [-2, 3]$$

<h3>4)</h3>

$$2^{x+1} + 2^{x+2} > 96$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$2^x(2^1 + 2^2) > 96$$

$$2^x(2+4) > 96$$

$$2^x \cdot 6 > 96$$

Разделим обе части на 6:

$$2^x > 16$$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

$$2^x > 2^4$$

Так как основание степени больше 1, то можем перейти к неравенству показателей, сохранив знак неравенства:

$$x > 4$$

Ответ: $$x \in (4, +\infty)$$

<h3>5)</h3>

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{7x+4} \le \frac{9}{16}$$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3/4:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{7x+4} \le \left(\frac{3}{4}\right)^2$$

Так как основание степени меньше 1, то можем перейти к неравенству показателей, изменив знак неравенства:

$$7x+4 \ge 2$$

$$7x \ge -2$$

$$x \ge -\frac{2}{7}$$

Ответ: $$x \in [-\frac{2}{7}, +\infty)$$