Решите самостоятельно. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности x²-4y²-3+z=0 в точке Мо (хо, У. 2ο), если х = 2, y = 1. Решение:

Решение:

1. Находим значение z₀:

   Подставим x₀ = 2 и y₀ = 1 в уравнение поверхности:

   \[2^2 - 4 \cdot 1^2 - 3 + z_0 = 0\] \[4 - 4 - 3 + z_0 = 0\] \[z_0 = 3\]

   Итак, M₀(2, 1, 3).

2. Вычисляем частные производные:

   Дано уравнение поверхности: x² - 4y² - 3 + z = 0. Выразим z:

   \[z = -x^2 + 4y^2 + 3\]

   Частные производные:

   \[\frac{\partial z}{\partial x} = -2x\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = 8y\]
3. Находим значения частных производных в точке M₀:

   Подставляем x₀ = 2 и y₀ = 1:

   \[\frac{\partial z}{\partial x}(2, 1) = -2 \cdot 2 = -4\] \[\frac{\partial z}{\partial y}(2, 1) = 8 \cdot 1 = 8\]
4. Уравнение касательной плоскости:

   Уравнение касательной плоскости имеет вид:

   \[z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)\]

   Подставляем известные значения:

   \[z - 3 = -4(x - 2) + 8(y - 1)\] \[z - 3 = -4x + 8 + 8y - 8\] \[4x - 8y + z - 3 = 0\]

   Уравнение касательной плоскости: 4x - 8y + z - 3 = 0.

5. Уравнение нормали:

   Уравнение нормали имеет вид:

   \[\frac{x - x_0}{\frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{\frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)} = \frac{z - z_0}{-1}\]

   Подставляем известные значения:

   \[\frac{x - 2}{-4} = \frac{y - 1}{8} = \frac{z - 3}{-1}\]

   Уравнение нормали: \(\frac{x - 2}{-4} = \frac{y - 1}{8} = \frac{z - 3}{-1}\).