1) Решите систему неравенств: \{ \frac{3x-2}{2} - \frac{x}{3} > \frac{2-x}{6}, x > 1 - \frac{1+8x^2}{x-4};

Решаем систему неравенств:

• \(\frac{3x-2}{2} - \frac{x}{3} > \frac{2-x}{6}\)
• \(x > 1 - \frac{1+8x^2}{x-4}\)

Решаем первое неравенство:

\[\frac{3x-2}{2} - \frac{x}{3} > \frac{2-x}{6}\] Умножаем обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: \[3(3x-2) - 2x > 2-x\] Раскрываем скобки: \[9x - 6 - 2x > 2 - x\] Переносим все члены с x в одну сторону, а числа в другую: \[9x - 2x + x > 2 + 6\] \[8x > 8\] \[x > 1\]

Решаем второе неравенство:

\[x > 1 - \frac{1+8x^2}{x-4}\] Переносим все члены в одну сторону: \[x - 1 + \frac{1+8x^2}{x-4} > 0\] Приводим к общему знаменателю: \[\frac{x(x-4) - (x-4) + 1+8x^2}{x-4} > 0\] Раскрываем скобки: \[\frac{x^2 - 4x - x + 4 + 1 + 8x^2}{x-4} > 0\] Упрощаем: \[\frac{9x^2 - 5x + 5}{x-4} > 0\] Квадратный трехчлен в числителе не имеет вещественных корней (дискриминант отрицателен): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 25 - 180 = -155 < 0\) Так как коэффициент при \(x^2\) положителен (9 > 0), то \(9x^2 - 5x + 5 > 0\) при всех x. Следовательно, знак неравенства зависит только от знаменателя: \[x - 4 > 0\] \[x > 4\]

Решаем систему:

\[\{ \begin{aligned} x &> 1 \\ x &> 4 \end{aligned} \] Решением системы является пересечение этих двух интервалов.

Ответ: x > 4