Решите систему неравенств: {\begin{matrix} 2x-3>3(x-2)-1 \\ 2-3(2-x)<5(2x-1) \\ 13-\frac{x}{2}>3(x+2)-1 \end{matrix}}

Решим систему неравенств.

$$\begin{cases} 2x-3>3(x-2)-1 \\ 2-3(2-x)<5(2x-1) \\ 13-\frac{x}{2}>3(x+2)-1 \end{cases}$$

Решим первое неравенство системы:

$$2x-3>3(x-2)-1$$

Раскроем скобки:

$$2x-3>3x-6-1$$

$$2x-3>3x-7$$

$$2x-3x>3-7$$

$$-x>-4$$

$$x<4$$

Решим второе неравенство системы:

$$2-3(2-x)<5(2x-1)$$

Раскроем скобки:

$$2-6+3x<10x-5$$

$$3x-10x<6-5-2$$

$$-7x<-1$$

$$x>\frac{1}{7}$$

Решим третье неравенство системы:

$$13-\frac{x}{2}>3(x+2)-1$$

$$13-\frac{x}{2}>3x+6-1$$

$$-\frac{x}{2}-3x>6-1-13$$

$$-\frac{x}{2}-\frac{6x}{2}>-8$$

$$-\frac{7x}{2}>-8$$

$$-7x>-16$$

$$x<\frac{16}{7}$$

Запишем решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x<4 \\ x>\frac{1}{7} \\ x<\frac{16}{7} \end{cases}$$

$$\begin{cases} x<\frac{28}{7} \\ x>\frac{1}{7} \\ x<\frac{16}{7} \end{cases}$$

$$\frac{1}{7} < x < \frac{16}{7}$$

Ответ: $$x \in (\frac{1}{7}; \frac{16}{7})$$