Решите систему неравенств: 2x² − 3x + 6 > 0; x² − 10x − 27 < 0.

Рассмотрим первое неравенство:

\[2x^2-3x+6>0\]

Дискриминант квадратного трёхчлена:

\[D=(-3)^2-4\cdot2\cdot6=9-48=-39<0.\]

Так как старший коэффициент положительный, трёхчлен положителен при всех \(x\). Поэтому первое неравенство выполняется при любых действительных значениях \(x\).

Решим второе неравенство:

\[x^2-10x-27<0.\]

Найдём корни уравнения:

\[x^2-10x-27=0,\]

\[x=\frac{10\pm\sqrt{100+108}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{208}}{2}=5\pm2\sqrt{13}.\]

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

\[5-2\sqrt{13}

Ответ: \(x\in(5-2\sqrt{13};\,5+2\sqrt{13})\).