Решите систему неравенств {x² - 6x + 5 ≤ 0, x² - 8x + 15 ≥ 0. Запишите наименьшее целое решение системы неравенств. Запишите наибольшее целое решение системы неравенств.

Пошаговое решение:

1. Решаем первое неравенство: x² - 6x + 5 ≤ 0. Находим корни квадратного трехчлена: x² - 6x + 5 = 0. Дискриминант D = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16. Корни x₁ = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 1, x₂ = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 5. Так как коэффициент при x² положителен, парабола направлена вверх, и решением неравенства является интервал [1, 5].
2. Решаем второе неравенство: x² - 8x + 15 ≥ 0. Находим корни квадратного трехчлена: x² - 8x + 15 = 0. Дискриминант D = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4. Корни x₁ = (8 - √4) / 2 = (8 - 2) / 2 = 3, x₂ = (8 + √4) / 2 = (8 + 2) / 2 = 5. Так как коэффициент при x² положителен, парабола направлена вверх, и решением неравенства является объединение интервалов (-∞, 3] и [5, +∞).
3. Находим пересечение решений двух неравенств: Первое неравенство имеет решение [1, 5], а второе (-∞, 3] ∪ [5, +∞). Пересечение этих решений: [1, 3] ∪ {5}.
4. Записываем наименьшее целое решение системы неравенств. Наименьшее целое число в интервале [1, 3] равно 1.
5. Записываем наибольшее целое решение системы неравенств. Наибольшее целое число в интервале [1, 3] равно 3, и также есть изолированная точка 5. Наибольшее целое решение равно 5.

Ответ: Наименьшее целое решение: 1, наибольшее целое решение: 5