Решите систему неравенств {x² - 3x + 2 ≥ 0, x² - x - 2 ≤ 0.

Решение системы неравенств

• Решим первое неравенство:

  \[x^2 - 3x + 2 \ge 0\]

  Найдем корни квадратного уравнения: \[x^2 - 3x + 2 = 0\]

  \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

  \[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2\]

  \[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

  Так как коэффициент при \[x^2\] положительный, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства будут интервалы \[x \le 1\] и \[x \ge 2\].

• Решим второе неравенство:

  \[x^2 - x - 2 \le 0\]

  Найдем корни квадратного уравнения: \[x^2 - x - 2 = 0\]

  \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

  \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\]

  \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

  Так как коэффициент при \[x^2\] положительный, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства будет интервал \[-1 \le x \le 2\].

• Найдем пересечение решений:

  Первое неравенство: \[x \le 1\] или \[x \ge 2\]

  Второе неравенство: \[-1 \le x \le 2\]

  Пересечение: \[-1 \le x \le 1\] и \[x = 2\]

Ответ: \([-1; 1] \cup \{2\}\)