Решите систему неравенств: { x^2 - x - 6 ≥ 0 x^2 - 4x < 0

Решение системы неравенств:

1. Первое неравенство: \( x^2 - x - 6 \ge 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \).
   Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).
   Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \>.
   Парабола \( y = x^2 - x - 6 \) ветвями вверх, значит, \( x^2 - x - 6 \ge 0 \) при \( x \in (-\infty; -2] \cup [3; \infty) \).
2. Второе неравенство: \( x^2 - 4x < 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x = 0 \).
   Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x - 4) = 0 \>.
   Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \>.
   Парабола \( y = x^2 - 4x \) ветвями вверх, значит, \( x^2 - 4x < 0 \) при \( x \in (0; 4) \).
3. Объединение решений:
   Нам нужно найти пересечение интервалов: \( ((-\infty; -2] \cup [3; \infty)) \cap (0; 4) \>.
   Пересечение \( (-\infty; -2] \) с \( (0; 4) \) пусто.
   Пересечение \( [3; \infty) \) с \( (0; 4) \) равно \( [3; 4) \>.

Ответ: [3; 4)