Решите систему неравенств: { x^2 - x - 6 \(\geq\) 0 x^2 - 4x < 0 }

Решение:

Необходимо решить систему из двух неравенств:

1. Первое неравенство: \( x^2 - x - 6 \geq 0 \)
   Найдём корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)
   \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
   \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \>
   Парабола \( y = x^2 - x - 6 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - x - 6 \geq 0 \) при \( x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \).
2. Второе неравенство: \( x^2 - 4x < 0 \)
   Найдём корни уравнения \( x^2 - 4x = 0 \):
   \( x(x - 4) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \)
   \( x_2 = 4 \)
   Парабола \( y = x^2 - 4x \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 4x < 0 \) при \( x \in (0; 4) \).
3. Объединим решения:
   Нам нужно найти пересечение интервалов \( (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \) и \( (0; 4) \).
   Пересечение первого интервала \( (-\infty; -2] \) и \( (0; 4) \) пусто.
   Пересечение второго интервала \( [3; +\infty) \) и \( (0; 4) \) — это \( [3; 4) \).

Ответ: [3; 4).