Решите систему неравенств: 3x - 4 < 8, 2x - 5 < 9, 4 - x > 6. Решите неравенство: -x² + 7x ≥ 11 + x. Является ли решением системы неравенств x² - 3x + 2y - 7 > 0, { 4x - 2y + 3 < 0. пара чисел (2;1)? Перемещая красные точки, сделайте так, чтобы закрашенная синим цветом область задавалась неравенством (x + 2)² + (y - 1)² - 9 < 0. (Одна из точек центр окружности, другая лежит на окружности.) Сколько черных точек являются решениями данного неравенства?

Задание №1

Решим систему неравенств:

\[\begin{cases} 3x - 4 < 8, \\ 2x - 5 < 9, \\ 4 - x > 6. \end{cases}\]

Решаем каждое неравенство по отдельности:

• \( 3x - 4 < 8 \)

Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

\[ 3x < 12 \]

Разделим обе части на 3:

\[ x < 4 \]

• \( 2x - 5 < 9 \)

Прибавим 5 к обеим частям неравенства:

\[ 2x < 14 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x < 7 \]

• \( 4 - x > 6 \)

Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

\[ -x > 2 \]

Умножим обе части на -1 (знак неравенства меняется):

\[ x < -2 \]

Таким образом, решением системы является промежуток:

\[ x \in (-\infty; -2) \]

Задание №2

Решим неравенство:

\[ -x^2 + 7x \ge 11 + x \]

Перенесем все в левую часть:

\[ -x^2 + 6x - 11 \ge 0 \]

Умножим на -1 (знак неравенства меняется):

\[ x^2 - 6x + 11 \le 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 \]

Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола лежит выше оси x, и неравенство не имеет решений.

\[ x \in \varnothing \]

Задание №3

Проверим, является ли пара чисел (2;1) решением системы неравенств:

\[\begin{cases} x^2 - 3x + 2y - 7 > 0, \\ 4x - 2y + 3 < 0. \end{cases}\]

Подставим x = 2 и y = 1 в первое неравенство:

\[ (2)^2 - 3(2) + 2(1) - 7 > 0 \] \[ 4 - 6 + 2 - 7 > 0 \] \[ -7 > 0 \] - неверно.

Подставим x = 2 и y = 1 во второе неравенство:

\[ 4(2) - 2(1) + 3 < 0 \] \[ 8 - 2 + 3 < 0 \] \[ 9 < 0 \] - неверно.

Так как пара (2;1) не удовлетворяет ни одному из неравенств системы, она не является решением системы неравенств.

Задание №4

Определим, сколько черных точек являются решениями неравенства

\[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 9 \]

Неравенство описывает круг с центром в точке (-2; 1) и радиусом 3. Посчитаем количество черных точек, лежащих внутри или на границе круга.

По графику можно определить, что 5 черных точек лежат внутри окружности или на ее границе.

Ответ: 5 черных точек являются решениями данного неравенства.