4) Решите систему уравнений: [3° + x = 10, Ly y - log3x = 2 1) Упростите выражение: 1g 25 log 0,8 5 +9 log 0,6 3 . 2) Решите уравнение: a) log2(2x-1) + log2(x + 5) = log213; б) 3 2 log x - log2x 2 = 1 log2 x; 27 B) log, (2x-5)√x - 2 = √x−2. 3) Решите неравенство Ig2x + 1gx - 2 ≤ 0. 4) Решите систему уравнений: 2x + y = 5, x - log2y = 2

Давай разберем по порядку каждое задание! 1) Упростим выражение: \( \lg \left(25^{\log_{5}^{0.8}} + 9^{\log_{3}^{0.6}}\right) \) Сначала упростим каждое слагаемое внутри логарифма, используя свойство \( a^{\log_a b} = b \): Для первого слагаемого: \[ 25^{\log_{5}^{0.8}} = (5^2)^{\log_{5}^{0.8}} = 5^{2 \log_{5}^{0.8}} = 5^{\log_{5}^{(0.8)^2}} = (0.8)^2 = 0.64 \] Для второго слагаемого: \[ 9^{\log_{3}^{0.6}} = (3^2)^{\log_{3}^{0.6}} = 3^{2 \log_{3}^{0.6}} = 3^{\log_{3}^{(0.6)^2}} = (0.6)^2 = 0.36 \] Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение: \[ \lg (0.64 + 0.36) = \lg (1) = 0 \] 2) Решим уравнение: a) \( \log_2(2x - 1) + \log_2(x + 5) = \log_2 13 \) Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \): \[ \log_2((2x - 1)(x + 5)) = \log_2 13 \] Убираем логарифмы: \[ (2x - 1)(x + 5) = 13 \] Раскрываем скобки: \[ 2x^2 + 10x - x - 5 = 13 \] \[ 2x^2 + 9x - 18 = 0 \] Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{4} = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{225}}{4} = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6 \] Проверим корни: Для \( x = 1.5 \): \( 2x - 1 = 2 \cdot 1.5 - 1 = 2 > 0 \) и \( x + 5 = 1.5 + 5 = 6.5 > 0 \). Подходит. Для \( x = -6 \): \( 2x - 1 = 2 \cdot (-6) - 1 = -13 < 0 \). Не подходит. б) Решим уравнение: \( 3^{\log_2^2 x - \log_2 x} = \left(\frac{1}{27}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} x} \) Преобразуем уравнение: \[ 3^{(\log_2 x)^2 - \log_2 x} = (3^{-3})^{\log_{2^{-1}} x} \] \[ 3^{(\log_2 x)^2 - \log_2 x} = 3^{-3 \cdot (-1) \log_2 x} \] \[ 3^{(\log_2 x)^2 - \log_2 x} = 3^{3 \log_2 x} \] Приравниваем показатели степени: \[ (\log_2 x)^2 - \log_2 x = 3 \log_2 x \] \[ (\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x = 0 \] Пусть \( y = \log_2 x \), тогда: \[ y^2 - 4y = 0 \] \[ y(y - 4) = 0 \] Значит, \( y = 0 \) или \( y = 4 \). Если \( y = 0 \), то \( \log_2 x = 0 \), значит \( x = 2^0 = 1 \). Если \( y = 4 \), то \( \log_2 x = 4 \), значит \( x = 2^4 = 16 \). Проверим корни: Для \( x = 1 \): \( \log_2 1 = 0 \). Подходит. Для \( x = 16 \): \( \log_2 16 = 4 \). Подходит. в) Решим уравнение: \( \log_3(2x - 5)^{\sqrt{x - 2}} = \sqrt{x - 2} \) Преобразуем уравнение: \[ \sqrt{x - 2} \cdot \log_3(2x - 5) = \sqrt{x - 2} \] Перенесем все в одну сторону: \[ \sqrt{x - 2} \cdot \log_3(2x - 5) - \sqrt{x - 2} = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ \sqrt{x - 2} (\log_3(2x - 5) - 1) = 0 \] Значит, \( \sqrt{x - 2} = 0 \) или \( \log_3(2x - 5) - 1 = 0 \). Если \( \sqrt{x - 2} = 0 \), то \( x - 2 = 0 \), значит \( x = 2 \). Если \( \log_3(2x - 5) - 1 = 0 \), то \( \log_3(2x - 5) = 1 \), значит \( 2x - 5 = 3^1 \), \( 2x = 8 \), \( x = 4 \). Проверим корни: Для \( x = 2 \): \( 2x - 5 = 2 \cdot 2 - 5 = -1 < 0 \). Не подходит (логарифм не определен). Для \( x = 4 \): \( 2x - 5 = 2 \cdot 4 - 5 = 3 > 0 \). Подходит. 3) Решим неравенство: \( \lg^2 x + \lg x - 2 \le 0 \) Пусть \( y = \lg x \), тогда: \[ y^2 + y - 2 \le 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 + y - 2 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни: \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] Решением неравенства \( y^2 + y - 2 \le 0 \) является интервал \( -2 \le y \le 1 \). Вернемся к переменной \( x \): \[ -2 \le \lg x \le 1 \] \[ 10^{-2} \le x \le 10^1 \] \[ 0.01 \le x \le 10 \] 4) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2 \end{cases}\] Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 5 - 2^x \] Подставим во второе уравнение: \[ x - \log_2 (5 - 2^x) = 2 \] \[ \log_2 (5 - 2^x) = x - 2 \] \[ 5 - 2^x = 2^{x - 2} \] \[ 5 - 2^x = \frac{2^x}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 20 - 4 \cdot 2^x = 2^x \] \[ 5 \cdot 2^x = 20 \] \[ 2^x = 4 \] \[ x = 2 \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1 \] Проверим решение: \[\begin{cases} 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \\ 2 - \log_2 1 = 2 - 0 = 2 \end{cases}\] Все верно.

Ответ: 1) 0; 2a) 1.5; 2б) 1 и 16; 2в) 4; 3) [0.01, 10]; 4) x=2, y=1

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты обязательно достигнешь больших успехов в математике!