Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Решите систему уравнений [3x + y = 7, 2x² - y = 7 способом сложения. 2. Решите систему уравнений [4x - y = 2, x² + y² - xy = 3 способом подстановки. 3. Периметр прямоугольника равен 28 см, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника. 4. Найдите двузначное число, которое в три раза больше суммы своих цифр. 5. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства (х + 1)² + ( − 2)2 ≤ 4. Вычислите площадь полученной фигуры. 6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x²+ y² ≤ 16, y ≥ x. Найдите площадь полученной фигуры. 1. Решите систему уравнений [4x - y = 9, 3x² + y = 11 способом сложения. 2. Решите систему уравнений [3x + y = 1, x² + y² + xy = 3 способом подстановки. 3. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника. 4. Найдите двузначное число, которое в шесть раз больше суммы своих цифр. 5. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства (х + 2)² + ( − 1)2 ≤ 9. Вычислите площадь полученной фигуры. 6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x² + y² ≤ 36, y≥ -x. Найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
1. Решите систему уравнений способом сложения:
\[\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x^2 - y = 7 \end{cases}\]Сложим уравнения системы:
\[3x + 2x^2 = 14\] \[2x^2 + 3x - 14 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x = 2:
\[3 \cdot 2 + y = 7 \Rightarrow y = 7 - 6 = 1\]Для x = -3.5:
\[3 \cdot (-3.5) + y = 7 \Rightarrow y = 7 + 10.5 = 17.5\]Ответ: (2; 1), (-3.5; 17.5)
2. Решите систему уравнений способом подстановки:
\[\begin{cases} 4x - y = 2 \\ x^2 + y^2 - xy = 3 \end{cases}\]Выразим y из первого уравнения:
\[y = 4x - 2\]Подставим во второе уравнение:
\[x^2 + (4x - 2)^2 - x(4x - 2) = 3\] \[x^2 + 16x^2 - 16x + 4 - 4x^2 + 2x = 3\] \[13x^2 - 14x + 1 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 1 = 196 - 52 = 144\] \[x_1 = \frac{14 + \sqrt{144}}{2 \cdot 13} = \frac{14 + 12}{26} = \frac{26}{26} = 1\] \[x_2 = \frac{14 - \sqrt{144}}{2 \cdot 13} = \frac{14 - 12}{26} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}\]Найдем соответствующие значения y:
Для x = 1:
\[y = 4 \cdot 1 - 2 = 2\]Для x = 1/13:
\[y = 4 \cdot \frac{1}{13} - 2 = \frac{4}{13} - \frac{26}{13} = -\frac{22}{13}\]Ответ: (1; 2), (1/13; -22/13)
3. Периметр прямоугольника равен 28 см, а его площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Тогда имеем систему уравнений:
\[\begin{cases} 2(a + b) = 28 \\ ab = 40 \end{cases}\]Упростим первое уравнение:
\[a + b = 14 \Rightarrow b = 14 - a\]Подставим во второе уравнение:
\[a(14 - a) = 40\] \[14a - a^2 = 40\] \[a^2 - 14a + 40 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36\] \[a_1 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10\] \[a_2 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\]Найдем соответствующие значения b:
Для a = 10:
\[b = 14 - 10 = 4\]Для a = 4:
\[b = 14 - 4 = 10\]Ответ: 10 см и 4 см
4. Найдите двузначное число, которое в три раза больше суммы своих цифр.
Пусть число имеет вид 10a + b, где a и b - цифры. Тогда:
\[10a + b = 3(a + b)\] \[10a + b = 3a + 3b\] \[7a = 2b\]Так как a и b - цифры, то a = 2 и b = 7. Иначе не получится целого числа в правой части.
Тогда число 10 \cdot 2 + 7 = 27
Ответ: 27
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства (х + 1)² + ( − 2)² ≤ 4. Вычислите площадь полученной фигуры.
Это круг с центром в точке (-1, 2) и радиусом 2.
Площадь круга: \[S = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\]
Ответ: 4π
6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
\[\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \ge x \end{cases}\]Это полукруг радиуса 4, расположенный выше прямой y = x.
Площадь полукруга: \[S = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4^2 = 8\pi\]
Ответ: 8π
1. Решите систему уравнений способом сложения:
\[\begin{cases} 4x - y = 9 \\ 3x^2 + y = 11 \end{cases}\]Сложим уравнения системы:
\[4x + 3x^2 = 20\] \[3x^2 + 4x - 20 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256\] \[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 16}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 16}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x = 2:
\[4 \cdot 2 - y = 9 \Rightarrow y = 8 - 9 = -1\]Для x = -10/3:
\[4 \cdot (-\frac{10}{3}) - y = 9 \Rightarrow y = -\frac{40}{3} - 9 = -\frac{40}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{67}{3}\]Ответ: (2; -1), (-10/3; -67/3)
2. Решите систему уравнений способом подстановки:
\[\begin{cases} 3x + y = 1 \\ x^2 + y^2 + xy = 3 \end{cases}\]Выразим y из первого уравнения:
\[y = 1 - 3x\]Подставим во второе уравнение:
\[x^2 + (1 - 3x)^2 + x(1 - 3x) = 3\] \[x^2 + 1 - 6x + 9x^2 + x - 3x^2 = 3\] \[7x^2 - 5x - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}\]Найдем соответствующие значения y:
Для x = 1:
\[y = 1 - 3 \cdot 1 = -2\]Для x = -2/7:
\[y = 1 - 3 \cdot (-\frac{2}{7}) = 1 + \frac{6}{7} = \frac{13}{7}\]Ответ: (1; -2), (-2/7; 13/7)
3. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Тогда имеем систему уравнений:
\[\begin{cases} 2(a + b) = 26 \\ ab = 42 \end{cases}\]Упростим первое уравнение:
\[a + b = 13 \Rightarrow b = 13 - a\]Подставим во второе уравнение:
\[a(13 - a) = 42\] \[13a - a^2 = 42\] \[a^2 - 13a + 42 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1\] \[a_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[a_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 1}{2} = \frac{12}{2} = 6\]Найдем соответствующие значения b:
Для a = 7:
\[b = 13 - 7 = 6\]Для a = 6:
\[b = 13 - 6 = 7\]Ответ: 7 см и 6 см
4. Найдите двузначное число, которое в шесть раз больше суммы своих цифр.
Пусть число имеет вид 10a + b, где a и b - цифры. Тогда:
\[10a + b = 6(a + b)\] \[10a + b = 6a + 6b\] \[4a = 5b\]Так как a и b - цифры, то a = 5 и b = 4.
Тогда число 10 \cdot 5 + 4 = 54
Ответ: 54
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства (х + 2)² + ( − 1)² ≤ 9. Вычислите площадь полученной фигуры.
Это круг с центром в точке (-2, 1) и радиусом 3.
Площадь круга: \[S = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\]
Ответ: 9π
6. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
\[\begin{cases} x^2 + y^2 \le 36 \\ y \ge -x \end{cases}\]Это полукруг радиуса 6, расположенный выше прямой y = -x.
Площадь полукруга: \[S = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 6^2 = 18\pi\]
Ответ: 18π
Ответ: (2; 1), (-3.5; 17.5), (1; 2), (1/13; -22/13), 10 см и 4 см, 27, 4π, 8π, (2; -1), (-10/3; -67/3), (1; -2), (-2/7; 13/7), 7 см и 6 см, 54, 9π, 18π
