Решите систему уравнений { 5x^2 + y^2 = 61, 15x^2 + 3y^2 = 61x.

Решение:

У нас есть система уравнений:

1) \( 5x^2 + y^2 = 61 \)

2) \( 15x^2 + 3y^2 = 61x \)

Из первого уравнения выразим \( y^2 \):

\( y^2 = 61 - 5x^2 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 15x^2 + 3(61 - 5x^2) = 61x \)

Раскроем скобки:

\( 15x^2 + 183 - 15x^2 = 61x \)

Упростим уравнение:

\( 183 = 61x \)

Найдем \( x \):

\( x = \frac{183}{61} \)

\( x = 3 \)

Теперь найдем \( y \), подставив \( x=3 \) в уравнение \( y^2 = 61 - 5x^2 \):

\( y^2 = 61 - 5(3^2) \)

\( y^2 = 61 - 5(9) \)

\( y^2 = 61 - 45 \)

\( y^2 = 16 \)

Возьмем квадратный корень:

\( y = \pm\sqrt{16} \)

\( y = \pm 4 \)

Таким образом, мы получили два решения:

1) \( x = 3, y = 4 \)

2) \( x = 3, y = -4 \)

Ответ: (3; 4), (3; -4).