Решите систему уравнений: √(5x − 2y) + √(5x + 2y) = 34, √(25x² − 4y²) = 273.

Обозначим \(a=\sqrt{5x-2y}\) и \(b=\sqrt{5x+2y}\). Тогда \(a\geq0\), \(b\geq0\), а по первому уравнению:

\(a+b=34\).

Заметим:

\(25x^2-4y^2=(5x-2y)(5x+2y)=a^2b^2\).

Следовательно,

\(\sqrt{25x^2-4y^2}=ab\).

По второму уравнению:

\(ab=273\).

Числа \(a\) и \(b\) являются корнями уравнения

\(t^2-34t+273=0\).

\(D=34^2-4\cdot273=1156-1092=64\).

\(t_1=\frac{34+8}{2}=21\), \(t_2=\frac{34-8}{2}=13\).

Значит, возможны два случая:

\(\sqrt{5x-2y}=21\), \(\sqrt{5x+2y}=13\);

или

\(\sqrt{5x-2y}=13\), \(\sqrt{5x+2y}=21\).

1) \(5x-2y=441\), \(5x+2y=169\).

Складываем уравнения:

\(10x=610\), откуда \(x=61\).

Тогда \(5\cdot61+2y=169\), поэтому \(2y=-136\), \(y=-68\).

2) \(5x-2y=169\), \(5x+2y=441\).

Складываем уравнения:

\(10x=610\), откуда \(x=61\).

Тогда \(5\cdot61+2y=441\), поэтому \(2y=136\), \(y=68\).

Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: \((61;-68)\), \((61;68)\).