Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решите систему уравнений: a) { 9x² + 9y² = 13, 3xy = 2;
Ответ:
Краткое пояснение:
Для решения системы уравнений будем использовать метод подстановки, предварительно преобразовав одно из уравнений.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Выразим xy из второго уравнения:
\( 3xy = 2 \) => \( xy = \frac{2}{3} \) - Шаг 2: Преобразуем первое уравнение, выделив член \( (x+y)^2 \) или \( (x-y)^2 \). Заметим, что \( 9x^2 + 9y^2 = 9(x^2 + y^2) \). Нам нужно найти \( x^2 + y^2 \).
Можно попробовать связать \( x^2 + y^2 \) с \( xy \).
Раскроем \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) и \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \).
Из первого уравнения: \( 9(x^2 + y^2) = 13 \) => \( x^2 + y^2 = \frac{13}{9} \). - Шаг 3: Теперь можем найти \( (x+y)^2 \) и \( (x-y)^2 \>:
\( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = \frac{13}{9} + 2\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{13}{9} + \frac{4}{3} = \frac{13+12}{9} = \frac{25}{9} \) - Шаг 4: Из \( (x+y)^2 = \frac{25}{9} \> следует, что \( x+y = \pm\frac{5}{3} \>.
- Шаг 5: Также найдем \( (x-y)^2 \>:
\( (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = \frac{13}{9} - 2\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{13}{9} - \frac{4}{3} = \frac{13-12}{9} = \frac{1}{9} \) - Шаг 6: Из \( (x-y)^2 = \frac{1}{9} \> следует, что \( x-y = \pm\frac{1}{3} \>.
- Шаг 7: Теперь у нас есть четыре случая, основанные на комбинациях знаков для \( x+y \) и \( x-y \>.
- Случай 1: \( x+y = \frac{5}{3} \> и \( x-y = \frac{1}{3} \>.
Сложим уравнения: \( 2x = \frac{6}{3} = 2 \) => \( x = 1 \>.
Подставим \( x=1 \) в \( x+y = \frac{5}{3} \>: \( 1+y = \frac{5}{3} \> => \( y = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} \>. - Случай 2: \( x+y = \frac{5}{3} \> и \( x-y = -\frac{1}{3} \>.
Сложим уравнения: \( 2x = \frac{4}{3} \> => \( x = \frac{2}{3} \>.
Подставим \( x=\frac{2}{3} \> в \( x+y = \frac{5}{3} \>: \( \frac{2}{3}+y = \frac{5}{3} \> => \( y = \frac{3}{3} = 1 \>. - Случай 3: \( x+y = -\frac{5}{3} \> и \( x-y = \frac{1}{3} \>.
Сложим уравнения: \( 2x = -\frac{4}{3} \> => \( x = -\frac{2}{3} \>.
Подставим \( x=-\frac{2}{3} \> в \( x+y = -\frac{5}{3} \>: \( -\frac{2}{3}+y = -\frac{5}{3} \> => \( y = -\frac{3}{3} = -1 \>. - Случай 4: \( x+y = -\frac{5}{3} \> и \( x-y = -\frac{1}{3} \>.
Сложим уравнения: \( 2x = -\frac{6}{3} = -2 \> => \( x = -1 \>.
Подставим \( x=-1 \> в \( x+y = -\frac{5}{3} \>: \( -1+y = -\frac{5}{3} \> => \( y = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{2}{3} \>.
Ответ: Решениями системы являются пары \( (1, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, 1), (-\frac{2}{3}, -1), (-1, -\frac{2}{3}) \>.
