Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases} x+y=3 \\ x-2y=1 \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} 3x-y=3 \\ 5x+2y=16 \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} 2x-y=2 \\ 3x+y=8 \end{cases}$$

Решение систем уравнений

Привет! Давай разберем каждую систему по порядку.

а) Метод подстановки

Система:

\[
\begin{cases}
x+y=3 \\
x-2y=1
\end{cases}
\]

1. Выразим одну переменную через другую: Из первого уравнения выразим x: x = 3 - y.


2. Подставим во второе уравнение: Вместо x во втором уравнении подставляем (3 - y):
   (3 - y) - 2y = 1


3. Решим полученное уравнение:
   3 - 3y = 1
-3y = 1 - 3
-3y = -2
y = 2/3


4. Найдем вторую переменную: Теперь подставим значение y в выражение для x:
   x = 3 - y = 3 - 2/3 = 9/3 - 2/3 = 7/3

Ответ а): x = 7/3, y = 2/3.

б) Метод сложения

Система:

\[
\begin{cases}
3x-y=3 \\
5x+2y=16
\end{cases}
\]

1. Умножим первое уравнение: Чтобы переменная y взаимно уничтожилась, умножим первое уравнение на 2:
   (3x - y = 3) * 2 => 6x - 2y = 6


2. Сложим уравнения: Теперь сложим измененное первое уравнение со вторым:
   (6x - 2y) + (5x + 2y) = 6 + 16
11x = 22


3. Найдем x:
   x = 22 / 11
x = 2


4. Найдем y: Подставим значение x в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:
   3(2) - y = 3
6 - y = 3
-y = 3 - 6
-y = -3
y = 3

Ответ б): x = 2, y = 3.

в) Графический метод

Система:

\[
\begin{cases}
2x-y=2 \\
3x+y=8
\end{cases}
\]

1. Представим уравнения в виде функций:
   - Из первого: y = 2x - 2
   - Из второго: y = -3x + 8


2. Построим графики: Нарисуем в одной системе координат прямые, соответствующие этим функциям.


3. Найдем точку пересечения: Точка, в которой пересекаются графики, является решением системы.

Построение графика:

Точка пересечения: Графики пересекаются в точке, где x=2 и y=2.

Ответ в): x = 2, y = 2.