Решите систему уравнений: a) log₂(x² + 3x - 2) - log₂ y = 1, { 3x - y = 2;

Решение:

Дана система уравнений:

1. \( \log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1 \)
2. \( 3x - y = 2 \)

Из второго уравнения выразим \( y \):

\( y = 3x - 2 \)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( \log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2(3x - 2) = 1 \)

Используем свойство логарифма \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \):

\( \log_2 \frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 1 \)

По определению логарифма:

\( \frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 2^1 \)

\( \frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 2 \)

Умножим обе части на \( 3x - 2 \) (при условии \( 3x - 2 \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{2}{3} \)):

\( x^2 + 3x - 2 = 2(3x - 2) \)

\( x^2 + 3x - 2 = 6x - 4 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 + 3x - 6x - 2 + 4 = 0 \)

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)

\( \sqrt{D} = 1 \)

Найдём корни \( x \):

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) во второе уравнение \( y = 3x - 2 \):

При \( x_1 = 2 \):

\( y_1 = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 \)

При \( x_2 = 1 \):

\( y_2 = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1 \)

Проверим область допустимых значений для логарифмов. Аргумент логарифма должен быть положительным:

1. \( x^2 + 3x - 2 > 0 \)

2. \( y > 0 \)

Для \( (x, y) = (2, 4) \):

1. \( 2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 8 > 0 \) (верно)

2. \( 4 > 0 \) (верно)

Для \( (x, y) = (1, 1) \):

1. \( 1^2 + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 > 0 \) (верно)

2. \( 1 > 0 \) (верно)

Оба решения удовлетворяют условиям.

Ответ: \( (2, 4) \), \( (1, 1) \).