Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 3x^2 - 2x = y \\ 3x - 2 = y \end{cases}\)

Решение:

Данная система уравнений состоит из одного линейного и одного квадратного уравнения. Решим её методом подстановки. Так как оба уравнения выражают \( y \) через \( x \), приравняем правые части уравнений:

\( 3x^2 - 2x = 3x - 2 \)

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0 \)

\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные значения \( x \) в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать линейное уравнение \( y = 3x - 2 \).

Для \( x_1 = 1 \):

\[ y_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \]

Для \( x_2 = \frac{2}{3} \):

\[ y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0 \]

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (1; 1) \) и \( (\frac{2}{3}; 0) \).