Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{6} = -\frac{1}{2} \end{cases}\)

Привет! Давай решим эту систему уравнений. Немного сложнее, чем предыдущая, но мы справимся!

Шаг 1: Упрощаем второе уравнение

Сначала избавимся от дробей во втором уравнении. Общий знаменатель для 5, 6 и 2 — это 30.

Умножаем обе части уравнения \(\frac{x}{5} + \frac{y}{6} = -\frac{1}{2}\) на 30:

\[ 30 \cdot \left( \frac{x}{5} + \frac{y}{6} \right) = 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ 6x + 5y = -15 \]

Шаг 2: Составляем новую систему

Теперь наша система выглядит так:

\[ \begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ 6x + 5y = -15 \end{cases} \]

Шаг 3: Выбираем метод решения

Здесь коэффициенты при x и y не совпадают, поэтому метод вычитания напрямую не подойдет. Можно использовать метод подстановки или метод сложения (умножив уравнения на подходящие числа).

Давай используем метод подстановки. Выразим x из первого уравнения:

\[ 4x = 1 - 7y \]

\[ x = \frac{1 - 7y}{4} \]

Шаг 4: Подставляем во второе уравнение

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение \(6x + 5y = -15\):

\[ 6 \cdot \left( \frac{1 - 7y}{4} \right) + 5y = -15 \]

Сократим 6 и 4 на 2:

\[ 3 \cdot \left( \frac{1 - 7y}{2} \right) + 5y = -15 \]

\[ \frac{3(1 - 7y)}{2} + 5y = -15 \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим все на 2:

\[ 3(1 - 7y) + 2 \cdot 5y = 2 \cdot (-15) \]

\[ 3 - 21y + 10y = -30 \]

\[ 3 - 11y = -30 \]

Перенесем 3 в правую часть:

\[ -11y = -30 - 3 \]

\[ -11y = -33 \]

Найдем y:

\[ y = \frac{-33}{-11} \]

\[ y = 3 \]

Шаг 5: Находим x

Теперь, когда мы знаем y = 3, подставим это значение в выражение для x, которое мы получили раньше:

\[ x = \frac{1 - 7y}{4} \]

\[ x = \frac{1 - 7 \cdot 3}{4} \]

\[ x = \frac{1 - 21}{4} \]

\[ x = \frac{-20}{4} \]

\[ x = -5 \]

Шаг 6: Проверка (для уверенности!)

Подставим x = -5 и y = 3 в исходные уравнения:

Первое уравнение:

\[ 4x + 7y = 4(-5) + 7(3) = -20 + 21 = 1 \]

Верно!

Второе уравнение (упрощенное):

\[ 6x + 5y = 6(-5) + 5(3) = -30 + 15 = -15 \]

Верно!

Ответ: x = -5, y = 3