Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 5x^2 - 9x = y \\ 5x - 9 = y \end{cases}\)

Решение:

Для решения системы уравнений приравняем правые части уравнений, так как обе равны \( y \):

\( 5x^2 - 9x = 5x - 9 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 5x^2 - 9x - 5x + 9 = 0 \)

\( 5x^2 - 14x + 9 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение, найдя дискриминант.

\( D = b^2 - 4ac \)

Где \( a = 5 \), \( b = -14 \), \( c = 9 \).

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня для \( x \).

Найдём значения \( x_1 \) и \( x_2 \) по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 4}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 \]

\[ x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 4}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём второе уравнение: \( y = 5x - 9 \).

Для \( x_1 = 1.8 \):

\[ y_1 = 5 \cdot (1.8) - 9 = 9 - 9 = 0 \]

Для \( x_2 = 1 \):

\[ y_2 = 5 \cdot (1) - 9 = 5 - 9 = -4 \]

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (1.8, 0) \) и \( (1, -4) \).